Đề bài

Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8}$ hay không.

Phương pháp giải

Quan sát đồ thị kết hợp với định nghĩa cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số để đưa ra kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {{x_1};{x_8}} \right]$. Từ đồ thị ta có:

+ $f\left( x \right) \le f\left( {{x_8}} \right)$ với mọi $x \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và ${x_8} \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {{x_8}} \right)$. Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm ${x_8}$.

+ $f\left( x \right) \ge f\left( {{x_7}} \right)$ với mọi $x \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và ${x_7} \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {{x_7}} \right)$. Do đó hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${x_7}$.

Ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {{x_1};{x_8}} \right]$.

+ Gọi ${h_1} = \frac{{{x_5} - {x_4}}}{2}$ , ta thấy ${h_1}$ dương. Vì $f\left( x \right) > f\left( {{x_4}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_4} - {h_1};{x_4} + {h_1}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và $x \ne {x_4}$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_4}$.

+ Tương tự, gọi ${h_2} = \frac{{{x_8} - {x_7}}}{2}$ , ta thấy ${h_2}$ dương. Vì $f\left( x \right) > f\left( {{x_7}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_7} - {h_2};{x_7} + {h_2}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và $x \ne {x_7}$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_7}$.

+ Gọi ${h_3} = \frac{{{x_6} - {x_5}}}{2}$ , ta thấy ${h_3}$ dương. Vì $f\left( x \right) < f\left( {{x_6}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_6} - {h_3};{x_6} + {h_3}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và $x \ne {x_6}$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_6}$.