Đề bài

Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

D. Hàm số nghịch biến trên\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

TXĐ: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash \{ }}0\} \)

Xét \({x_1};\,{x_2}\, \in \,D\)và\({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - {x_2} < 0\)

Khi đó với hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}^2}} - \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{x_2^2.x_1^2}}\)

Trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} < 0\)nên hàmsố đồng biến.

Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_2}^2.{x_1}^2}} > 0\)nên hàm số nghịch biến.

Chọn A