Đề bài

Trong tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - mx - m$ đồng biến trên $R$, giá trị nhỏ nhất của $m$ là:

• A. $- 4$
• B. $- 1$
• C. $0$
• D. $1$

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Chú ý:

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\\f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\end{array}$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $y' = {x^2} + 2m{\rm{x}} - m$

Vì $a=1>0$ nên hàm số đồng biến trên $R$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2m{\rm{x}} - m \ge 0$,$\forall x \in R$$\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} + m \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0$ 

Đáp án : B