Đề bài

Cho phương trình lượng giác \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3  = 0\). Khi đó

a) Phương trình tương đương \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\)

Đúng

Sai

b) Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)

Đúng

Sai

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\)

Đúng

Sai

d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là hai nghiệm

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tương đương \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\)

Đúng

Sai

b) Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)

Đúng

Sai

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\)

Đúng

Sai

d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là hai nghiệm

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác \(\sin x = a\):

- Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì chọn cung \(\alpha \) sao cho \(\sin \alpha  = a\). Khi đó phương trình trở thành:

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  - \alpha  + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

\(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \frac{\pi }{{12}} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi  + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

a) Sai. \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

b) Sai. Phương trình có nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

c) Đúng.

+ Xét họ nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \):

Nghiệm âm lớn nhất là \(x =  - \frac{\pi }{4}\) khi k = 0.

+ Xét họ nghiệm \(x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \):

Nghiệm âm lớn nhất là \(x =  - \frac{{7\pi }}{{12}}\) khi k = -1.

Vì \( - \frac{\pi }{4} >  - \frac{{7\pi }}{{12}}\) nên nghiệm âm lớn nhất là \(x =  - \frac{\pi }{4}\).

d) Đúng.

+ Xét họ nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \):

\( - \pi  < x < \pi  \Leftrightarrow  - \pi  <  - \frac{\pi }{4} + k2\pi  < \pi \)

\( \Leftrightarrow  - 1 <  - \frac{1}{4} + 2k < 1 \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} < 2k < \frac{5}{4} \Leftrightarrow  - \frac{3}{8} < k < \frac{5}{8}\).

Vậy chỉ có k = 0 thỏa mãn. Khi đó \(x =  - \frac{\pi }{4}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \):

\( - \pi  < x < \pi  \Leftrightarrow  - \pi  < \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - 1 < \frac{{17}}{{12}} + 2k < 1\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{29}}{{12}} < 2k <  - \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow  - \frac{{29}}{{24}} < k <  - \frac{5}{{24}}\).

Vậy chỉ có k = -1 thỏa mãn. Khi đó \(x =  - \frac{{7\pi }}{{12}}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là \(x =  - \frac{\pi }{4}\) và \(x =  - \frac{{7\pi }}{{12}}\).