Đề bài

Tìm \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} + mx + 2} {\rm{\;}} = 2x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt.

A. \(m > \frac{9}{2}\)

B. \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{9}{2}\)

C. \( - \frac{1}{2} < m < \frac{9}{2}\)

D. \(m \ge \frac{9}{2}\)

Phương pháp giải

- Giải phương trình chứa căn \(\sqrt A {\rm{\;}} = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\).

- Sử dụng định lí Vi-ét.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} + mx + 2} {\rm{\;}} = 2x + 1}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge {\rm{\;}} - \frac{1}{2}}\\{{x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge {\rm{\;}} - \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - \left( {m - 4} \right)x - 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} > {x_2} \ge {\rm{\;}} - \frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{x_1} + {x_2} >  - 1\\\left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} + 12 > 0\,\,(luon\,\,\,dung)\\\frac{{m - 4}}{3} >  - 1\\\frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{2}.\frac{{m - 4}}{3} + \frac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 >  - 3\\\frac{{m - 4}}{6} \ge \frac{1}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m - 4 \ge \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}.\)

Vậy \(m \ge \frac{9}{2}\).

Chọn D