Đề bài

Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+) Trường hợp 1: \(x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\). Suy ra trường hợp này có nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{9}\) thỏa mãn.

+) Trường hợp 2: \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Suy ra trường hợp này có nghiệm \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn.

Vậy phương trình chỉ có \(2\) nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Đáp án B