Đề bài

Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN, SC) bằng

• A. \({45^o}\)
• B. \({30^o}\)
• C. \({90^o}\)
• D. \({60^o}\)

Phương pháp giải

Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(AC = a\sqrt 2  \)

\(\Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = {a^2} + {a^2} = S{A^2} + S{C^2}\).

Suy ra \(\Delta SAC\) vuông tại S.

Khi đó: \(\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\). Như vậy \(\left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = {90^o}\), tức \(\left( {MN,SC} \right) = {90^o}\).

Đáp án : C

Mở rộng

Góc giữa hai vecto

Trong không gian, cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \). Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \). Khi đó, \(\widehat {AOB}\) \(\left( {{0^o} < \widehat {AOB} < {{180}^o}} \right)\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Cách tính góc giữa hai vecto

- Góc giữa hai vecto chung điểm đầu trong không gian:

Để tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), ta tính số đo \(\widehat {BAC}\).

- Góc giữa hai vecto không có chung điểm đầu trong không gian:

Giả sử cần tính góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không chung điểm đầu. Ta tìm hai vecto cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), có chung điểm đầu; sau đó tính góc giữa hai vecto vừa tìm. Một trong hai vecto vừa tìm có thể là chính \(\overrightarrow a \) hoặc \(\overrightarrow b \).

* Lưu ý:

- Góc giữa hai vecto nhận giá trị từ \({0^o}\) đến \({180^o}\).

- Góc giữa hai vecto cùng hướng bằng \({0^o}\), góc giữa hai vecto ngược hướng bằng \({180^o}\).

- Nếu góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(\alpha \) thì góc giữa \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow b \) bằng \({180^o} - \alpha \).

- Góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) còn được kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Tính góc giữa hai vecto dựa vào tích vô hướng

Để tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), ta áp dụng công thức:

\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).