Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD và cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB như hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng M nằm trên đường trung trực của CD.

Phương pháp giải

Chứng minh MD = MC.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Hai tam giác MAD và MBC lần lượt vuông tại A, B và có:

MA = MB (M là trung điểm AB)

DA = CB (hai cạnh đối của hình chữ nhật)

Vậy \(\Delta MAD = \Delta MBC\)(hai cạnh góc vuông). Do đó MD = MC. Vậy M cách đều hai đầu của đoạn thẳng CD.

Do đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Mở rộng

+ Định nghĩa đường trung trực: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Ví dụ: Nếu đường thẳng $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, thì $d$ phải đi qua trung điểm của $AB$ và $d \perp AB$.

+ Tính chất của đường trung trực (Định lý thuận): Bất kỳ điểm nào nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Điều này có nghĩa là, nếu điểm $P$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $XY$, thì $PX = PY$.

+ Dấu hiệu nhận biết đường trung trực (Định lý đảo): Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng chính là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Điều này có nghĩa là, nếu bạn chứng minh được một điểm $P$ cách đều hai mút $X$ và $Y$ của một đoạn thẳng (tức là $PX = PY$), thì điểm $P$ đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $XY$.

Trong bài toán đã cho, chúng ta cần chứng minh rằng điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Dựa vào tính chất đảo của đường trung trực (dấu hiệu nhận biết), để chứng minh M nằm trên đường trung trực của CD, ta cần chứng minh rằng M cách đều hai mút của đoạn thẳng CD, tức là $MD = MC$.

Phương pháp giải chung cho dạng bài này

Để chứng minh một điểm $P$ nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng $XY$, phương pháp chung và hiệu quả nhất là chứng minh rằng điểm $P$ cách đều hai mút của đoạn thẳng đó ($PX = PY$).

Các bước thực hiện thường bao gồm:

+ Xác định mục tiêu: Để chứng minh $P$ nằm trên đường trung trực của $XY$, ta cần chứng minh $PX = PY$.

+ Tìm kiếm các tam giác liên quan: Thường là các tam giác có chứa $PX$ và $PY$ làm các cạnh tương ứng.

+ Thu thập thông tin: Liệt kê các yếu tố đã biết hoặc có thể suy ra từ giả thiết (ví dụ: các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các góc vuông, trung điểm, tính chất của các hình đặc biệt như hình chữ nhật, tam giác cân...).

+ Chứng minh hai tam giác bằng nhau: Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác (cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc) hoặc các trường hợp đặc biệt cho tam giác vuông (cạnh huyền - góc nhọn, cạnh huyền - cạnh góc vuông, hai cạnh góc vuông) để chứng minh hai tam giác đã chọn ở bước 2 là bằng nhau.

+ Suy ra sự bằng nhau của các đoạn thẳng: Từ sự bằng nhau của hai tam giác, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau, tức là $PX = PY$.

+ Kết luận: Vì $P$ cách đều $X$ và $Y$, nên $P$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $XY$.

Lưu ý:

Một số bài toán có thể yêu cầu chứng minh ngược lại, tức là chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng. Khi đó, ta cần chứng minh đường thẳng đó đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.