Đề bài

Cho các số a, b, c thỏa mãn \(\dfrac{a}{{2{\rm{ }}020}} = \dfrac{b}{{2{\rm{ }}021}} = \dfrac{c}{{2{\rm{ }}022}}\). Chứng tỏ rằng:

\(4(a - b)(b - c) = {(c - a)^2}\).

Phương pháp giải

Ta chứng minh bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở dữ kiện bài toán cho.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{{2{\rm{ }}020}} = \dfrac{b}{{2{\rm{ }}021}} = \dfrac{c}{{2{\rm{ }}022}} = \dfrac{{a - b}}{{2{\rm{ }}020 - 2{\rm{ }}021}} = \dfrac{{b - c}}{{2{\rm{ 021}} - 2{\rm{ }}022}} = \dfrac{{c - a}}{{2{\rm{ 022}} - 2{\rm{ }}020}}\).

Suy ra \(\dfrac{{a - b}}{{ - 1}} = \dfrac{{b - c}}{{ - 1}} = \dfrac{{c - a}}{2} \)

Do đó \(c - a =  - 2(b - c)\) và \(c - a =  - 2(a - b)\)

Suy ra \({(c - a)^2} =  - 2(b - c). - 2(a - b) = 4(a - b)(b - c)\)

Vậy \(4(a - b)(b - c) = {(c - a)^2}\).