Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng \(BN = CM;BN \bot CM.\)
- Chứng minh \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {c - g - c} \right)\)
- Gọi E là giao điểm của BN và CM.
- Chứng minh \(\widehat {BEM} = \widehat {NAB} = {90^\circ }\).
Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta ANB\) có:
\(BC = AB\\BM = AN\\\widehat B = \widehat A = {90^\circ}\)
Do đó \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {c - g - c} \right)\)
\(MC = NB\) (2 cạnh tương ứng)
Gọi E là giao điểm của BN và CM.
Vì \(\Delta BMC = \Delta ANB\left( {cmt} \right) \) nên \(\widehat {CMB} = \widehat {BNA}\), \(\widehat {BCM} = \widehat {ABN}\) (2 góc tương ứng) (1)
Theo định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có:
\(\widehat {BEM}+ \widehat {EMB} + \widehat {EBM}=180^\circ (2)\\\widehat {NAB}+\widehat {BNA}+\widehat {NBA}=180^\circ (3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {BEM} = \widehat {NAB}\)
Mà \(\widehat {NAB} = {90^\circ}\) nên \(\widehat {BEM} = {90^\circ}\) suy ra \(BN \bot CM\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A’B’C’ (vuông tại đỉnh A’) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: AB = A'B', AC = A'C' (H.4.45). Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.
Bài 2 :
Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta DCM\).
Bài 3 :
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta AED = \Delta BEC\)
b) \(\Delta ABC = \Delta BAD\)
Bài 4 :
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy 2 điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41). Chứng minh rằng:
a) \(AF = CE\)
b) \(AF // CE\)
Bài 5 :
Cho 5 điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE
a) Chứng minh rằng AB = CE
b) Cho đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng \(\widehat {BFC} = {90^0}\)
Bài 6 :
Cho hình chữ nhật ABCD. Cho M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta DCM\).
Bài 7 :
Cho hình vẽ dưới đây. Biết AB = A’B’, HB = H’B’, BC = B’C’.
Chứng minh rằng AC = A’C’.
Bài 8 :
Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot là tia phân giác. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot và cắt Ox và Oy theo thứ tự A và B.
Lấy điểm C nằm giữa O và H. Chứng minh \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB}\).
Bài 9 :
Hai đoạn thẳng BE và CD vuông góc với nhau tại A sao cho AB = AD, AC = AE, AB > AC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? Vì sao?
a) ΔAED = ΔACB.
b) DE = BC.
c) ΔACE = ΔABD.
d) \(\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{ED}}}\)
Bài 10 :
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = 53^\circ ,\widehat {BAC} = 90^\circ \) , AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Vẽ tia Bx vuông góc với BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = HA (Hình 23).
a) Chứng minh ∆AHB = ∆DBH.
b) Chứng minh DH vuông góc với AC.
c) Tính số đo góc BDH.
