Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Chứng minh ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông
-Chứng minh AB // CD, AD // CB (Sử dụng các cặp góc so le trong bằng nhau)
-Chứng minh \(\Delta ABD\)= \(\Delta DCA\)
Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:
\(\begin{array}{l}OA = OC\\OB = OD\\\widehat {AOB} = \widehat {COD}\left( {2\,góc\,đốii\,đỉnh} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OCD\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow AB = DC\\\,\,\,\,\,\,\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\end{array}\)
(cạnh tương ứng và góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
Nên \(AB\parallel CD\)
Tương tự: \(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right) \\\Rightarrow AD = BC;\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\)(cạnh tương ứng và góc tương ứng)
Do đó: \(AD\parallel BC\)
Vì vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta DCA\) có:
AB = DC
BD = AC
AD: Cạnh chung
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\left( {c - c - c} \right)\\ \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {CDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\end{array}\)
Vậy hình bình hành ABCD có 1 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho Hình 4.20, biết \(AB = CB, AD = CD,\widehat{DAB} = {90^\circ },\widehat{BDC} = {30^\circ }\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABD = \Delta CBD\).
b) Tính \(\widehat {ABC}\).
Cho Hình 4.25, biết \(\widehat {DAC} = {60^\circ },AB = AC,DB = DC\). Hãy tính \(\widehat {DAB}\).
Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(\widehat {CAO} = \widehat {CBO}.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta OAC = \Delta OBC\).
b) Lấy điểm \(M\) trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng \(\Delta MAC = \Delta MBC\).
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh: AD = BC.
b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) \(\Delta ACD = \Delta CAB\)
c) AD song song với BC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \(\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\). Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\)
b) \(\Delta AED = \Delta BEC.\)
c) \(AB//DC\)
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (h.4.28)
a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng
AM = DN.
b) Trên hai cạnh AC và DF lấy 2 điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng
BP = EQ.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng \(\Delta ABC = \Delta DEF\)
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như hình vẽ.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.
b) Chứng minh rằng \(\Delta DAB = \Delta BCD\).
Cho hình vẽ dưới đây. Biết đường thẳng AD song song với đường thẳng BC, AD = BC. Chứng minh rằng AB song song với CD.
Cho năm điểm A, B,C,D,O như hình vẽ. Biết rằng OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh rằng AC=BD.
b) Chứng minh rằng \(\Delta ACD = \Delta BDC\)
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?
Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.
a) \( \Delta ABE = ?\)
b) \( \Delta EAB = ?\)
c) \( ? = \Delta CDE\)
Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) \(\Delta EAB=\Delta ECD\)
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
Cho góc bẹt \(xOy\) có tia phân giác \(Ot\). Trên tia \(Ot\) lấy hai điểm \(A, B\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\)). Lấy điểm \(C \in Ox\) sao cho \(OC = OB\), lấy điểm \(D \in Oy\) sao cho \(OD = OA\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Tính các góc của tam giác \(MON\).
