Đề bài

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:

a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.

b) \(\Delta ACD = \Delta CAB\)

c) AD song song với BC. 

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABE = \Delta CDE\left( {g - c - g} \right)\)

b) Chứng minh \(\Delta ACD = \Delta CAB (c – g – c)\)

c) Chỉ ra 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABE, ta có:

\(\widehat B +\widehat A + \widehat {AEB}=180^0\)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác DCE, ta có:

\(\widehat D + \widehat C+ \widehat {DEC}=180^0\)

Mà \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat{A}=\widehat{C}\)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat D\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CDE\) có:

AB = CD (gt)

\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C\left( {gt} \right)\\\widehat B = \widehat D\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CDE\left( {g - c - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE = CE\\BE = DE\end{array} \right.\) (cặp cạnh tương ứng)

Vậy E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.

b)

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta CAB\) có:

AC: Cạnh chung

\(\widehat {ACD} = \widehat {CAB}\)(gt)

CD = AB (gt)

\( \Rightarrow \Delta ACD = \Delta CAB\left( {c - g - c} \right)\)

c)

Ta có: \(\Delta ACD = \Delta CAB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {ACB}\)(2 góc tương ứng)

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow AD// BC\) (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song).