Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ và điểm $F$ thuộc tia đối của tia $BC$ sao cho $BF = DE$.

a)     Chứng minh tam giác $AEF$ là tam giác vuông cân

b)    Gọi $I$ là trung điểm của $EF$. Trên tia đối của tia $IA$ lấy điểm $K$ sao cho $IK = IA$. Chứng minh tứ giác $AEKF$ là hình vuông.

c)     Chứng minh $I$ thuộc đường thẳng $BD$.

Phương pháp giải

Trong một hình vuông,

-         Các cạnh đối song song

-         Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

-         Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ điểm $F$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt đường thẳng $BD$ tại $M$

a)     $\Delta ADE = \Delta ABF$ (c.g.c)

Suy ra $AE = AF$ và $\widehat {DAE} = \widehat {BAF}$

Suy ra $\widehat {DAE} + \widehat {BAE} = \widehat {BAF} + \widehat {BAE}$ hay $\widehat {BAD} = \widehat {EAF}$.

Do đó, $\widehat {EAF} = 90^\circ$

Tam giác $AEF$ có $\widehat {EAF} = 90^\circ ,AE = AF$ nên tam giac $AEF$ vuông cân tại $A$.

b)    Tứ giác $AEKF$ có hai đường chéo $AK,EF$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $AEKF$ là hình bình hành

hình bình hành $AEKF$ có $\widehat {EAF} = 90^\circ$ nên $AEKF$ là hình chữ nhật.

hình chữ nhật $AEKF$ có $AE = AF$ nên $AEKF$ là hình vuông.

c)     Do $ABCD$ là hình vuông nên ta tính được $\widehat {CBD} = 45^\circ$. Mà $\widehat {FBM} = \widehat {CBD}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat {FBM} = 45^\circ$.

Do $MF = CD$ nên $\widehat {BFM} = \widehat {BCD}$ (cặp góc so le trong)

Do đó $\widehat {BFM} = 90^\circ$. Ta chứng minh được tam giác $FBM$ vuông cân tại $F$. Suy ra $MF = BF$. Mà $BF = DE$, suy ra $MF = DE$.

Tứ giác $D\`E M$ có $MF = DE$ và $MF//DE$ nên $D\`E M$ là hình bình hành.

Mà $I$ là trung điểm của $EF$, suy ra $I$ là trung điểm của $DM$

Vậy $I$ thuộc đường thẳng $DM$ hay $I$ thuộc đường thẳng $BD$.