Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(AB = 2\)cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm \(H,K\) thay đổi lần lượt trên cạnh \(AD,CD\) sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).

a)     Chứng minh \(DH + DK\) không đổi

b)    Xác định vị trí của các điểm \(H,K\) để độ dài \(HK\) ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình thoi:

Trong một hình thoi:

-         Các cạnh đối song song

-         Các góc đối bằng nhau

-         Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

-         Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải chi tiết :

a)     Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = DA = 2cm,\widehat {ABD} = \widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\), suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ABD}\). Do đó tam giác \(ABD\) cân tại \(D\). Suy ra \(DA = DB\).

Mà \(AB = DA\), suy ra \(AB = DA = DB\).

\(\Delta ABH = \Delta DBK\) (g.c.g). Suy ra \(AH = DK\). Do đó \(DH + DK = DH + AH = AD\).

Vậy \(DH + DK\) không đổi

b)    Do \(\Delta ABH = \Delta DBk\) nên \(BH = BK\).

Tam giác \(BHK\) có \(BH = BK\) và \(\widehat {HBK} = 60^\circ \) nên tam giác \(BHK\) là tam giác đều.

Suy ra \(HK = BH = BK\).

Do đó, độ dài \(HK\) ngắn nhất khi \(BH\) và \(BK\) ngắn nhất. Vậy \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) trên \(AD,CD\).

Khi đó \(\Delta ABH = \Delta DBH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(AH = DH = \frac{{AD}}{2} = 1cm\)

Trong tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\). Suy ra ta tính được \(BH = \sqrt 3 cm\). Vậy độ dài ngắn nhất của \(HK\) là \(\sqrt 3 \) cm.