Đề bài

Cho hình thoi $ABCD$ có góc $B$ tù. Kẻ $BE$ vuông góc $AD$ tại $E$, $BF$ vuông góc với $CD$ tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $BE,BF$ với $AC$. Chứng minh tứ giác $BMDN$ là hình thoi.

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất của hình thoi:

Trong một hình thoi:

-         Các cạnh đối song song

-         Các góc đối bằng nhau

-         Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

-         Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ vuông góc với $BD$ tại trung điểm $O$ của $BD$. Suy ra $AC$ là đường trung trực của $BD$. Do đó $BM = DM,BN = DN$.

Do $ABCD$ là hình thoi nên $BA = BC,\widehat {BAE} = \widehat {BCF}$.

Suy ra $\Delta ABE = \Delta BCF$ (cạnh huyền – góc nhọn kề)

Do đó $\widehat {ABE} = \widehat {CBF}$. Mà $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$, suy ra $\widehat {MBO} = \widehat {NBO}$.

$\Delta MBO = \Delta NBO$ (cạnh góc vuông – góc nhọn). suy ra $BM = BN$

Mà $BM = DM$ và $BN = DN$, suy ra $BM = DM = BN = DN$.

Tứ giác $BMDN$ có $BM = DM = BN = DN$ nên $BMDN$ là hình thoi.