Đề bài

Đố vui. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ Chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Eratosthenes thấy 1 tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.

Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.46, điểm O là tâm của Trái Đất, điểm S tượng trưng cho thành phố Syene, điểm A tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm H là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Phương pháp giải

+ Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AOS}\).

+ Vì \(AH = 25m\) khá bé so với R, Earthostene coi cung tròn AB của (C) là một đoạn thẳng \(AB = 3,1m\) vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có \(\tan \widehat {AHB} = \frac{{AB}}{{AH}}\) nên tính được góc SOA.

+ Vì độ dài cung tròn MN tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm \(\widehat {MON}\), mà độ dài cung AS bằng 800km ứng với góc ở tâm \(\widehat {AOS} \approx {7^o}\) nên toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc ở tâm \({360^o}\) có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{360}}{7}.800\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trên Hình 4.47 đường tròn (C) với O là tâm Trái Đất, đi qua S (Syene), A (Alexandria), \(OS = OA = R\) (R là bán kính của đường tròn (C)).

Theo giả thiết, cung tròn (nhỏ) SA của (C) dài 800km.

Gọi H là đỉnh tháp, chân tại A thì A nằm giữa O và H, \(AH = 25m\). Bóng của tháp là cung tròn AB của (C).

Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AOS}\).

Vì \(AH = 25m\) khá bé so với R, Earthostene coi cung tròn AB của (C) là một đoạn thẳng \(AB = 3,1m\) vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có \(\tan \widehat {AHB} = \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{3,1}}{{25}} = \frac{{31}}{{250}}\)

Suy ra \(\tan \widehat {AOS} = \frac{{31}}{{250}}\) nên \(\widehat {AOS} \approx {7^o}\)

Vì độ dài cung tròn MN tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm \(\widehat {MON}\), mà độ dài cung AS bằng 800km ứng với góc ở tâm \(\widehat {AOS} \approx {7^o}\) nên toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc ở tâm \({360^o}\) có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{360}}{7}.800 \approx 41\;143\left( {km} \right)\).