Đề bài

Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm.

a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.

b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.

c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trần là 1 m là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí A) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

 

Phương pháp giải :

a) Dựa vào định lí Pythagore để tính AH.

b) Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

Lời giải chi tiết :

a) Chiếc đèn được mô phỏng thành hình chóp tam giác đều ABCD như hình vẽ. Gọi AH là trung đoạn kẻ từ đỉnh A của hình chóp.

Theo bài ta có: \(AB=AC=AD=20\) cm; \(BC=CD=DB=20\) cm.

\(\Delta ACD\) đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Do đó \(DH = CH = \frac{1}{2}CD = 10\) cm.

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

\(AH^2 = AC^2 − CH^2 = 20^2 − 10^2 = 300\)

Suy ra \(AH = \sqrt {300} = \sqrt {100.3} = \sqrt {(10 \sqrt 3)^2} = 10\sqrt 3\) cm.

b) Chu vi đáy của hình chóp là: \(C_{đáy} = 3.BD = 3.20 = 60\) cm.

Diện tích xung quanh của chiếc đèn là:

\(S_{xq} = \frac{1}{2}C_{đáy}.AH = \frac{1}{2}.60.10 \sqrt 3 = 300\sqrt 3 (cm^2)\).

c) Vì \(\Delta ADC\) và \(\Delta BDC\) đều là các tam giác đều có cạnh 20 cm nên hai đường cao AH và BH của hai tam giác bằng nhau.

Vì O là trọng tâm \(\Delta BDC\) nên \(OH=\frac{1}{3}BH=\frac{10\sqrt 3}{3}\) cm.

\(\Delta AOH\) vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

\(AO^2 = AH^2 − OH^2 = 300 − \left(\frac{10\sqrt 3}{3}\right)^2 = 300 − \frac{300}{9} = \frac{800}{3}\)

Suy ra \(AO = \sqrt {\frac{800}{3}} \approx 16,3 cm\).

Khi đó bạn Nam cần đưa dây diện từ đầu đèn tới trần nhà khoảng là \(100−16,3=83,7\) cm.