Một xưởng nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm A và B, mỗi cân sản phẩm loại A cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 400 nghìn đồng/kg. Một cân sản phẩm loại B cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 300 nghìn đồng. Mỗi ngày xưởng có 200 cân nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Vậy mỗi ngày xưởng đó nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu kg để thu về mức lợi nhuận cao nhất?
Gọi số kg sản phẩm loại A, loại B cần sản xuất mỗi ngày lần lượt là x, y \((x,y \ge 0)\).
Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để giải bài toán.
Gọi số kg sản phẩm loại A, loại B cần sản xuất mỗi ngày lần lượt là x, y \((x,y \ge 0)\).
Để sản xuất x kg sản phẩm loại A cần 2x cân nguyên liệu và 30x giờ sản xuất, lợi nhuận đem lại là 400x nghìn đồng.
Để sản xuất y kg sản phẩm loại B cần 4y cân nguyên liệu và 15y giờ sản xuất, lợi nhuận đem lại là 300y nghìn đồng.
Mỗi ngày có 200 kg nguyên liệu nên \(2x + 4y \le 200\).
Có 1200 giờ làm việc nên \(30x + 15y \le 1200\).
Tổng lợi nhuận đem lại là: \(F(x;y) = 400x + 300y\).
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:
Miền nghiệm là miền tứ giác OABC (kể cả các cạnh), trong đó \(A(0;50),B(20;40),C(40;0),O(0;0)\).
Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 400x + 300y\) ta được:
\(F(0;0) = 400.0 + 300.0 = 0\);
\(F(0;50) = 400.0 + 300.50 = 15000\);
\(F(20;40) = 400.20 + 300.40 = 20000\);
\(F(40;0) = 400.40 + 300.0 = 16000\).
Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 20 000 (nghìn đồng) tại \(x = 20;y = 40\).
Vậy mỗi ngày xưởng đó cần sản xuất 20kg sản phẩm loại A, 40kg sản phẩm loại B để thu về lợi nhuận lớn nhất.
Quy hoạch tuyến tính
Đây là một phương pháp toán học được sử dụng để tìm giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm mục tiêu tuyến tính, chịu sự ràng buộc bởi một hệ bất phương trình hoặc phương trình tuyến tính.
Phương pháp giải:
– Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
– Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, biểu thị điều kiện đề bài đưa ra trong một tình huống nào đó… Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.
Danh sách bình luận