Đề bài

Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?

Phương pháp giải

Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi diện tích trồng cà chua và cải bắp lần lượt là x, y (đơn vị: \({m^2}\)). \((x,y \ge 0)\).

Mảnh vườn rộng \(8{m^2}\) nên ta có: \(x + y \le 8\).

Khi trồng x \({m^2}\) cà chua thì cần \(20x\) công và thu được \(300x\) nghìn đồng.

Khi trồng y \({m^2}\) cải bắp thì cần \(30x\) công và thu được \(400x\) nghìn đồng.

Tổng số công không quá 180 nên ta có: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).

Tổng số tiền thu được là: \(F(x;y) = 300x + 400y\).

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 8\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) , trong đó \(A(0;6),B(6;2),C(8;0),O(0;0)\).

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 300x + 400y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(0;0) = 300.0 + 400.0 = 0\\F(0;6) = 300.0 + 400.6 = 2400\\F(6;2) = 300.6 + 400.2 = 2600\\F(8;0) = 300.8 + 400.0 = 2400\end{array}\).

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 2600 tại \(x = 6;y = 2\).

Vậy cô Minh cần mua trồng \(6{m^2}\) cà chua và \(2{m^2}\) cải bắp.