Đề bài

Cô Lan dự định mua tối đa 210 bông hoa gồm hoa tươi và hoa sáp về bán ngày lễ. Biết số hoa tươi cần mua ít nhất là 50 bông, số hoa sáp tối đa là 100 bông và số hoa sáp chiếm ít nhất \(\frac{1}{3}\) tổng số hoa. Lợi nhuận trung bình là 4 nghìn với một bông hoa tươi và  3 nghìn cho một bông hoa sáp. Vậy cô Lan cần mua bao nhiêu hoa mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi số hoa tươi và hoa sáp cần mua lần lượt là x, y (bông). \((x,y \in \mathbb{N})\).

Mua tối đa 210 bông nên ta có: \(x + y \le 210\).

Số hoa tươi cần mua ít nhất là 50 bông, số hoa sáp tối đa là 100 bông hay \(x \ge 50;0 \le y \le 100\).

Số hoa sáp chiếm ít nhất \(\frac{1}{3}\) tổng số hoa nên \(y \ge \frac{1}{3}(x + y)\) hay \(x - 2y \le 0\).

Lợi nhuận thu được là: \(F(x;y) = 4x + 3y\).

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 50\\0 \le y \le 100\\x + y \le 210\\x - 2y \le 0\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) , trong đó \(A(50;25),B(50;100),C(110;100),D(140;70)\).

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 4x + 3y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(50;25) = 4.50 + 3.25 = 275\\F(50;100) = 4.50 + 3.100 = 500\\F(110;100) = 4.110 + 3.100 = 740\\F(140;70) = 4.140 + 3.70 = 770\end{array}\).

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 770 tại \(x = 140;y = 70\).

Vậy cô Lan cần mua 140 bông hoa tươi và 70 bông hoa sáp.