Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo, OA = 6 cm, OB = 8 cm.
a) Tính độ dài đường cao OH của tam giác AOB.
b) Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với các cạnh của hình thoi.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng AH và BH.
Dựa vào: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức giữa cạnh và góc giúp giải tam giác vuông thuận lợi và nhanh chóng.
a) Ta có AB=√OA2+OB2=√62+82=10(cm).
2SΔAOB=OA.OB=OH.AB
Suy ra OH = OA.OBAB=6.810=4,8(cm).
b) Lần lượt vẽ đường cao OK, OE, OF của tam giác BOC, COD, DOA.
Ta có bốn tam giác vuông AOB, AOD, COD, COB bằng nhau (c.g.c), suy ra bốn đường cao OH, OF, OE, OK cũng bằng nhau.
Do khoảng cách từ O đến bốn cạnh của hình thoi đều bằng OH nên đường tròn (O; OH) tiếp xúc với các cạnh của hình thoi.
c) Ta có:
AH=OA.cos^OAB=OA.OAAB=OA2AB=6210=3,6(cm).
BH = AB – AH = 10 – 2,6 = 6,4 (cm).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I . Đường thẳng qua I và vuông góc với IA cắt OB tại K. Chọn khẳng định đúng.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng 1200. Biết chu vi tam giác MAB là 6(3+2√3)cm, tính độ dài dây AB.
Cho hai đường tròn (O);(O′) cắt nhau tại A,B, trong đó O′∈(O). Kẻ đường kính O′OC của đường tròn (O). Chọn khẳng định sai?
Cho đường tròn (O;3cm), lấy điểm A sao cho OA=6cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn (O) (B,C là tiếp điểm). Chu vi tam giác ABC là
Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M. Nếu MA=R√3 thì góc ^AOB bằng:
Hai tiếp tuyến tại hai điểm B,C của một đường tròn (O) cắt nhau tại A tạo thành ^BAC=500. Số đo của góc ^BOC bằng
“Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi… Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi…” Hai cụm từ thích hợp vào chỗ trống lần lượt là
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng 600. Biết chu vi tam giác MAB là 24cm, tính độ dài bán kính đường tròn.
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM=AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chọn câu đúng.
Hai tiếp tuyến tại hai điểm B,C của một đường tròn (O) cắt nhau tại A tạo thành ^BAC=500. Số đo của góc ^BOC chắn cung nhỏ BC bằng
Cho hai đường tròn (O) và (O′) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,B∈(O) và C∈(O′). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA=9cm,O′A=4cm.
(Dựa vào hình vẽ có được sau HĐ3).
Bằng cách xét hai tam giác OMA và OMB, chứng minh rằng:
a) MA = MB;
b) MO là tia phân giác của góc AMB;
c) OM là tia phân giác của góc AOB.
Cho góc xMy và điểm A thuộc tia Mx. Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xMy sao cho A là một trong hai tiếp điểm.
Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.
a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.
b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.
Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A (Hình 10).
a) Chứng minh hai tam giác ABO và ACO bằng nhau.
b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết ^EMF=60o.
a) Tính số đo ^EMI và ^EIF .
b) Tính độ dài MI.
Tìm giá trị x trong Hình 12.
Quan sát Hình 15. Biết AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Tính giá trị của x.
Cho tam giác ABC có đương tròn (O) nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Biết AM = 6 cm; BP = 3 cm; CE = 8 cm (Hình 17). Tính chu vi tam giác ABC.
Cho đường tròn (O) , điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A; B là hai tiếp điểm) thoả mãn ^AMB=60o. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.
Cho đường tròn (O;R). Các đường thẳng c,d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A,B và cắt nhau tại M (Hình 38).
a) Các tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không?
b) Hai đoạn thẳng MA và MB có bằng nhau hay không?
c) Tia MO có phải là tia phân giác của góc AMB hay không?
d) Tia OM có phải là tia phân giác của góc AOB hay không?
Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c,d qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A,B biết ^AMB=120∘. Chứng minh AB=R.
Ròng rọc là một loại máy cơ đơn giản có rãnh và có thể quay quanh một trục, được sử dụng rộng rãi trong công việc nâng lên và hạ xuống vật nặng trong cuộc sống. Trong Hình 41a, có một sợi dây không dãn vắt qua ròng rọc.
Giả sử ròng rọc được minh họa bởi đường tròn (O), sợi dây vắt qua ròng rọc được minh hoạ bởi cung MtN và hai tiếp tuyến Ma,Nb của đường tròn (O) (Hình 41b). Chứng minh Ma//Nb.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng thẳng c,d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A,B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA,MB và AB.
Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB=5m. Cắt bề mặt Trái Đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm của Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm O như Hình 42. Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn AC, trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn (O). Tính độ dài đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là: OB=OC≈6400km.
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và các đường thẳng m,n,p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A,B,C (Hình 43).
Chứng minh:
a) AD+BE=DE;
b) ^COD=12^COA và ^COE=12^COB;
c) Tam giác ODE vuông;
d) OD.OEDE=R.
Cho hai đường tròn (I;r) và (K;R) tiếp xúc ngoài với nhau tại P với R≠r, đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với (I;r) và (K;R) tại A và B,a cắt KI tại O. Đường thẳng qua P vuông góc với IK cắt đường thẳng a tại M. Chứng minh:
a) OIOK=rR;
b) AB=2MP;
c) ^IMK=90∘.
Trong Hình 5.32, MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại N. Tính R.
Vẽ đường tròn (O) và lấy hai điểm A, B thuộc (O) (AB không là đường kính). Vẽ tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. Em hãy đo và so sánh:
a) MA và MB;
b) ^AMO và ^BMO;
c) ^AOM và ^BOM.