Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \({q^2} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\)

B. \({q^2} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{2}\)

C. \({q^2} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{4}\)

D. \({q^2} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{4}\)

Phương pháp giải

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng ngay đứng trước nó với một số không đổi q, tức là \({u_n} = {u_{n - 1}}.q\), với \(n \ge 2\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 

Vì BC, AH, AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: \(AH = BC.q,AB = AH.q = BC.{q^2}\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}A{H^2} = BC.AB\\\frac{{AB}}{{BC}} = {q^2}\end{array} \right.\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(BH = \frac{{BC}}{2}\)

Áp định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H có:

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = A{B^2} - \frac{{B{C^2}}}{4} \Rightarrow 4{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} - 4\frac{{AB}}{{BC}} - 1 = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\) (do \(\frac{{AB}}{{BC}} > 0\))

Vậy \({q^2} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2}\)

Đáp án A