Đề bài

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin\(\alpha \), cos\(\alpha \), tan\(\alpha \), cot\(\alpha \), hãy chứng minh rằng:

a) \(\tan\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\);

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Phương pháp giải

a) - Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng \(\alpha \). Ta có:

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của \(\alpha \).

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là cos của \(\alpha \).

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề gọi là tan của \(\alpha \).

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối gọi là cot của \(\alpha \).

b) + Áp dụng định Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}=C{{H}^{2}}$.

+ Chứng minh được \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác sin\(\alpha \), cos\(\alpha \).

+ Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kí hiệu: cạnh huyền: CH, cạnh đối: CĐ, cạnh kề: CK.

Theo định nghĩa ta có: $\sin \alpha =\frac{CĐ}{CH},\cos \alpha =\frac{CK}{CH},\tan \alpha =\frac{CĐ}{CK},\cot \alpha =\frac{CK}{CĐ}.$

a) Ta có:

\(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{CĐ}{CH}}{\frac{CK}{CH}}=\frac{CĐ}{CK}=\tan \alpha ;\\\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{CK}{CH}}{\frac{CĐ}{CH}}=\frac{CK}{CĐ}=\cot \alpha .\)

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}=C{{H}^{2}}$

Ta có:

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{C{{Đ}^{2}}}{C{{H}^{2}}}+\frac{C{{K}^{2}}}{C{{H}^{2}}}\\=\frac{{{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}}{C{{H}^{2}}}=\frac{C{{H}^{2}}}{C{{H}^{2}}}=1.$

Do đó, \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \).