Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có \(AD = 2AB\). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MDCN là hình thoi;

b) Tam giác EMC là tam giác cân;

c) \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).

Phương pháp giải :

a) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thoi để chứng minh: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

b) Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết tam giác cân để chứng minh: Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tam giác cân.

c) Sử dụng kiến thức về tính chất của hình thoi để chứng minh: Hình thoi có hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Xét bài toán phụ 1: Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\).

Chứng minh:

Tam giác AMN và tam giác CPN có:

\(NA = NC\left( {gt} \right),\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\) (hai góc đối đỉnh), \(NM = NP\) (gt)

Do đó, \(\Delta ANM = \Delta CNP\left( {c - g - c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BM

Lại có: \(CP = AM = BM\)

Tứ giác BMPC có: CP//BM, \(CP = BM\) nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)

Xét bài toán phụ 2: Cho hình thang ABCD với AD//BC \(\left( {AD < BC} \right)\). Qua điểm D vẽ đường thẳng DE song song với AB (E thuộc BC); gọi N, Q lần lượt là trung điểm của cạnh DC, DE, M là giao điểm của NQ và AB. Chứng minh rằng \(MA = MB\)

Chứng minh:

Xét tam giác DEC có N, Q lần lượt là trung điểm của DC, DE nên NQ//EC, \(NQ = \frac{1}{2}EC\) (theo bài toán phụ 1)

Suy ra: MQ//BE//AD

Theo giả thiết: DE//AB

Tứ giác ADQM có: MQ/ //AD, MA//QD (gt) nên tứ giác ADQM là hình bình hành. Do đó: \(MA = QD\)

Tứ giác MBEQ có: MQ//BE, BM//QE nên tứ giác MBEQ là hình bình hành. Do đó, \(MB = QE\)

Lại có: \(QD = QE\) (gt) suy ra: \(MA = MB\)

Giải bài 5:

 

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BC

Vì \(MF \bot CE,AB \bot CE\) nên MF//AB. Suy ra: AB//CD//MF

Tứ giác MDCN có: MD//NC (cmt), MN//CD (cmt) nên tứ giác MDCN là hình bình hành.

Lại có: \(MD = \frac{1}{2}AD = CD\) nên MDCN là hình thoi.

b) Xét tứ giác ADCE có: AE//CD (theo câu a)

Do đó, tứ giác ADCE là hình thang.

Hình thang ADCE có: M là trung điểm của AD (giả thiết), AE//MF//CD (theo câu a)

Theo bài toán phụ 2 ta có F là trung điểm của CE.

Xét tam giác ECM có: MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE, \(MF \bot CE\) (gt) nên tam giác EMC cân tại M.

c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên \(\widehat {NMD} = 2\widehat {NMC}\) (tính chất đường chéo của hình thoi)

Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {NMD} = 2\widehat {NMC} = 2\widehat {EMF}\) (1)

Lại có: \(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (do AB//MN, hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)