Đề bài

a) Khai triển \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\) và \({\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)^2}\) thành những biểu thức không còn bình phương.

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau:

\(A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } \);

\(B = \sqrt {2 + \sqrt 3  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } } \).

Phương pháp giải

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có \(\sqrt A .\sqrt B  = \sqrt {AB} \).

+ \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) với mọi biểu thức A.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {2^2} - 2.2\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 7 - 4\sqrt 3 \);

\({\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .3 + {3^2} = 21 - 12\sqrt 3 .\)

b) Theo a ta có:

\(\sqrt {21 - 12\sqrt 3 }  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)}^2}} \\= \left| {2\sqrt 3  - 3} \right| = 2\sqrt 3  - 3\)

Do đó, \(A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } }  \)

\(= \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - 2\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  \\= \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 \)

\(B = \sqrt {2 + \sqrt 3  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } } \\ = \sqrt {2 + \sqrt 3  + A}  = \sqrt {2 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 }  \\= \sqrt 4  = 2\)