Đề bài

So sánh \(\sqrt {\sqrt {89 + 24\sqrt 5 } } \) và \(\sqrt {1 + \sqrt {122} } \).

Phương pháp giải

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có \(\sqrt A .\sqrt B  = \sqrt {AB} \).

+ \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) với mọi biểu thức A.

+ Với hai số không âm a, b nếu \(a < b\) thì \(\sqrt a  < \sqrt b \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\sqrt {\sqrt {89 + 24\sqrt 5 } } \\ = \sqrt {\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2} + 2.4\sqrt 5 .3 + {3^2}} } \\ = \sqrt {\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5  + 3} \right)}^2}} } \\ = \sqrt {4\sqrt 5  + 3} \)

\( = \sqrt {3 + \sqrt {80} }  < \sqrt {3 + 9} = \sqrt {12}\)

Mà \(\sqrt {12}= \sqrt {1+ 11 } = \sqrt {1+ \sqrt {121} }  < \sqrt {1 + \sqrt {122} }. \)

Vậy \(\sqrt {\sqrt {89 + 24\sqrt 5 } }  < \sqrt {1 + \sqrt {122} } \)