Đề bài

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^3}\; + {y^3}\; + x + y\);

b) \({x^3}\;-{y^3}\; + x-y\);

c) \({\left( {x-y} \right)^3}\; + {\left( {x + y} \right)^3}\);

d) \({x^3}\;-3{x^2}y + 3x{y^2}\;-{y^3}\; + {y^2}\;-{x^2}\).

Phương pháp giải

a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.

b) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.

c) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

d) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu và hiệu hai bình phương.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có \({x^3}\; + {y^3}\; + x + y = \left( {{x^3}\; + {y^3}} \right) + \left( {x + y} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2}\;-xy + {y^2}} \right) + \left( {x + y} \right)}\\{ = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2}\;-xy + {y^2}\; + 1} \right).}\end{array}\)

b) Ta có \({x^3}\;-{y^3}\; + x-y = \left( {{x^3}\;-{y^3}} \right) + \left( {x-y} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = \left( {x-y} \right)\left( {{x^2}\; + xy + {y^2}} \right) + \left( {x-y} \right)}\\{ = \left( {x-y} \right)\left( {{x^2}\; + xy + {y^2}\; + 1} \right).}\end{array}\)

c) Ta có \({\left( {x-y} \right)^3}\; + {\left( {x + y} \right)^3}\; = \left( {x-y + x + y} \right).\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2}\;-\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = \;2x.\left[ {{x^2}\; + 2xy + {y^2}\;-\left( {{x^2}\;-{y^2}} \right) + {x^2}\; - 2xy + {y^2}} \right]}\\{ = \;2x.\left[ {\left( {{x^2}\;-{x^2}\; + {x^2}} \right)\; + \;\left( {2xy - 2xy} \right)\; + \;\left( {{y^2}\; + {y^2}\; + {y^2}} \right)} \right]}\\{ = 2x\left( {{x^2}\; + 3{y^2}} \right).}\end{array}\)

d) Ta có \({x^3}\;-3{x^2}y + 3x{y^2}\;-{y^3}\; + {y^2}\;-{x^2}\; = \left( {{x^3}\;-3{x^2}y + 3x{y^2}\;-{y^3}} \right)-\left( {{x^{2\;}}-{y^2}} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {x-y} \right)}^3}\;-\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right)}\\{ = \left( {x-y} \right).\left[ {{{\left( {x-y} \right)}^{2\;}}-\left( {x + y} \right)} \right]}\\{ = \left( {x-y} \right)\left( {{x^2}\;-2xy + {y^{2\;}}-x-y} \right).}\end{array}\)