Đề bài

Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} \).

a) Hãy chứng tỏ căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2\).

c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2\), biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \) có giá trị không đổi.

Phương pháp giải

a) \(\sqrt A \) xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là \(A \ge 0\). Ta nói \(A \ge 0\) là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của \(\sqrt A \).

b, c) \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) với A là một biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì \({x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x nên căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} \) xác định với mọi giá trị của x.

b) Với \(x \ge 2\) thì \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}  = \left| {x - 2} \right| = x - 2\)

c) Với \(x \ge 2\) thì \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = x - 2\) nên

\(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }  = \sqrt {x - \left( {x - 2} \right)}  = \sqrt 2 \)

Vậy căn thức có giá trị không đổi với mọi \(x \ge 2\).