Đề bài

Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tìm giá trị lớn nhất của C.

c) Tìm giá trị của \(x\) để C có giá trị là các số dương.

Phương pháp giải

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức trong ngoặc.

b) Biến đổi \(C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) =  - \left( {x - \sqrt x } \right) =  - \left( {x - 2.\frac{1}{2}\sqrt x  + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} =  - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Biện luận giá trị lớn nhất của C.

c) Áp dụng \(A.B > 0\) khi A,B cùng dấu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(= \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{x + \sqrt x  - 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\\ = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - \sqrt x \left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\\ =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\end{array}\)

Vậy \(C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

b) \(C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) =  - \left( {x - \sqrt x } \right)\)

\( =  - \left( {x - 2.\frac{1}{2}\sqrt x  + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} =  - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có \({\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) suy ra \( - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\), do đó \( - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\) hay \(x = \frac{1}{4}\) (tmdk).

Vậy giá trị lớn nhất của C là \(\frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

c) Ta có \(C =  - \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

Ta thấy \(\sqrt x  \ge 0\) với \(x \ge 0\) nên \(C > 0\) khi \(\sqrt x  > 0\) và \(1 - \sqrt x  > 0\)

\(\sqrt x  > 0\) hay \(x > 0\)

\(1 - \sqrt x  > 0\) hay \(x < 1\)

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có \(0 < x < 1\). Vậy \(0 < x < 1\) thỏa mãn đề bài.