Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{4 + 4a}}{{1 - {a^2}}}} \right)\left( {\sqrt a - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right)\) với a > 0, \(a \ne 1\).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của a để P = 2
Dựa vào: \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} = \frac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {ab} }}{b}(a \ge 0,b > 0)\)
\(\sqrt {\frac{a}{b}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{{b^2}}}} = \frac{{\sqrt {ab} }}{b}(a \ge 0,b > 0)\)
a) P = \(\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{4 + 4a}}{{1 - {a^2}}}} \right)\left( {\sqrt a - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right)\)
\( = \left[ {\frac{{a + 2\sqrt a + 1 - a + 2\sqrt a - 1}}{{a - 1}} + \frac{{4(1 + a)}}{{(1 - a)(1 + a)}}} \right].\frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}\)
= \(\left( {\frac{{4\sqrt a }}{{a - 1}} + \frac{4}{{1 - a}}} \right).\frac{{a - 1}}{{\sqrt a }} = \frac{{4\sqrt a - 4}}{{a - 1}}.\frac{{a - 1}}{{\sqrt a }} = \frac{{4\sqrt a - 4}}{{\sqrt a }}.\)
b) Với P = \(\frac{{4\sqrt a - 4}}{{\sqrt a }}\)= 2, suy ra \(4\sqrt a - 4 = 2\sqrt a \) hay \(\sqrt a = 2\), suy ra a = 4.
Thử lại: Với a = 4, ta có P = \(\frac{{4\sqrt 4 - 4}}{{\sqrt 4 }} = 2\). Vậy a là giá trị cần tìm.
Các bài tập cùng chuyên đề
Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }}$ ta được phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $2a$ có giá trị là:
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)với $x \ge 0;y \ge 0$ ta được
Tính giá trị biểu thức\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}.\)
Giá trị biểu thức $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $ là giá trị nào sau đây?
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \) là
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\) ta được
Sau khi rút gọn biểu thức \(\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }}\) là phân số tối giản \(\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{3}{{6 + \sqrt {3a} }}\) với \(a \ge 0;a \ne 12\) ta được:
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}\) với \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y\) ta được:
Tính giá trị biểu thức \(\left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} \right):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}\)
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\) ta được:
Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) \(\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }};\)
b) \(\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a + \sqrt 2 }}\left( {a \ge 0,a \ne 2} \right).\)
Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},\) trong đó \({m_0}\) (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .
a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.
b) Tính khối lượng m theo \({m_0}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ \(v = \frac{1}{{10}}c.\)
Khử mẫu trong dấu căn:
a) \(2a.\sqrt {\frac{3}{5}} ;\)
b) \( - 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} \left( {x > 0} \right);\)
c) \( - \sqrt {\frac{{3a}}{b}} \left( {a \ge 0,b > 0} \right).\)
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right).\)
Khử mẫu của các biểu thức lấy căn:
a) \(\sqrt {\frac{{11}}{6}} \)
b) \(a\sqrt {\frac{2}{{5a}}} \) với a > 0
c) \(4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}} \) với x > 0; y > 0
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) \(\frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}\)
b) \(\frac{{10}}{{3\sqrt 5 }}\)
c) \( - \frac{3\sqrt a}{\sqrt {12 a}}\) với a > 0
Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
a) \(\sqrt {\frac{4}{7}} \)
b) \(\sqrt {\frac{5}{{24}}} \)
c) \(\sqrt {\frac{2}{{3{a^3}}}} \) với a > 0
d) \(2ab\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2b}}} \) với a < 0, b > 0
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) \(\frac{4}{{\sqrt {13} - 3}}\)
b) \(\frac{{10}}{{5 + 2\sqrt 5 }}\)
c) \(\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) với a > 0; b > 0, \(a \ne b\).
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 a}}\) với a > 0, ta có kết quả
A. \(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt a }}\)
B. \(\frac{{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 } \right)\sqrt a }}{{3a}}\)
C. \(\frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\sqrt a }}{a}\)
D. \(\sqrt {2a} - \sqrt a \)
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) \(\frac{{4 - 2\sqrt 6 }}{{\sqrt {48} }}\)
b) \(\frac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\)
c) \(\frac{a}{{a - \sqrt a }}\) với a > 0, a \( \ne \)1
Xét phép biến đổi: \(\frac{5}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 } \right)_{}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\). Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: \(\frac{5}{{\sqrt 3 }};\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Trục căn thức ở mẫu:
a. \(\frac{9}{{2\sqrt 3 }}\);
b. \(\frac{2}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0\);
c. \(\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}\);
d. \(\frac{5}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\);
e. \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\);
g. \(\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt 3 }}\) với \(x > 0,x \ne 3\).
Trục căn thức ở mẫu:
a. \(\frac{{x_{}^2 + x}}{{\sqrt {x + 1} }}\) với \(x > - 1\);
b. \(\frac{3}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x > 0;x \ne 4\);
c. \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}\);
d. \(\frac{{x_{}^2 - 9}}{{\sqrt x - \sqrt 3 }}\) với \(x > 0;x \ne 3\).
Cho biểu thức: \(N = \frac{{x\sqrt x + 8}}{{x - 4}} - \frac{{x + 4}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\).
a. Rút gọn biểu thức N.
b. Tính giá trị của biểu thức tại \(x = 9\).
Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a) \(\frac{6}{{\sqrt x }}\);
b) \(\frac{{\sqrt y }}{{1 + \sqrt y }}\);
c) \(\frac{{x\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt x - \sqrt y }}\).
Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a) \(\frac{{2\sqrt 6 + 1}}{{4\sqrt 6 }}\);
b) \(\frac{{\sqrt 5 - 3}}{{\sqrt 5 + 3}}\);
c) \(\frac{4}{{\sqrt {10} - \sqrt 8 }}\);
d) \(\frac{{ab}}{{2\sqrt a - \sqrt b }}\);
e) \(\frac{{3x}}{{4\sqrt x - 1}}\);
g) \(\frac{{\sqrt m + \sqrt n }}{{m\sqrt n }}\).
Cho \(\frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \sqrt a - \sqrt b \) với a, b là các số nguyên dương. Khi đó giá trị \(a - b\) bằng:
a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\).
b) Tính giá trị biểu thức \(P = x\left( {{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)\) tại \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\).
