Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1\).

• A. \(\sqrt 2 \)
• B. $1$     
• C. $2$     
• D. $3$

Phương pháp giải

Gọi \(z = x + yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTLN.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Có \(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} =  - i\). Đặt \(z = x + yi\) thì

\(\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 =  - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({(y + 1)^2} + {x^2} = 1\)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm $I\left( {0, - 1} \right)$, bán kính bằng $1$.

Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ lớn nhất.

Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên $OM$ lớn nhất khi $OM$ là đường kính của (*) \( \Leftrightarrow \) $I$ là trung điểm của $OM$ \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2{x_I}}&{}\\{y = 2{y_I}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}&{}\\{y =  - 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)\). Suy ra \(z =  - 2i \Leftrightarrow |z| = 2\)

Vậy $\max \left| z \right| = 2$

Đáp án : C

Chú ý

- Không chuyển được bài toán từ dạng đại số về dạng hình học.

- Không tìm được điều kiện để \(|z|\) đạt GTLN.

- Tính sai mô đun các số phức.