Đề bài

Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Phương pháp giải

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức trong ngoặc.

b) Bước 1: Tách \(N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

Bước 2: Dùng kết quả của bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) để tìm giá trị nhỏ nhất của N (áp dụng với \(a = \sqrt x ;b = \frac{1}{{\sqrt x }}\)).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} \)

\(= \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)  với \(x > 0\).

b) \(N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)

Với 2 số a,b không âm, ta có: \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) hay \(a + b - 2\sqrt {ab}  \ge 0\), do đó \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Áp dụng kết quả trên với 2 số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{1}{{\sqrt x }}\), ta có: \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \)

hay \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\), do đó \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3\), suy ra \(N \ge 3\)

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x  = \frac{1}{{\sqrt x }}\), do đó \(x = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 3 khi \(x = 1\).