So sánh:
a) \(\frac{{\sqrt {1404} }}{{\sqrt {351} }}\) và \(\sqrt {\frac{{98}}{{25}}} \)
b) \(\frac{5}{2}\sqrt {\frac{1}{6}} \) và \(6\sqrt {\frac{1}{{35}}} \)
c) \( - 5\sqrt 8 \) và \( - \sqrt {190} \)
d) 16 và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} \)
Dùng các quy tắc về căn bậc hai của một tích, căn bậc hai của một thương để biến đổi về dạng căn bậc hai của một số. Sau đó so sánh các căn bậc hai với nhau.
a) Ta có \(\frac{{\sqrt {1404} }}{{\sqrt {351} }} = \sqrt {\frac{{1404}}{{351}}} = \sqrt 4 \);
Ta thấy \(4 > \frac{{98}}{{25}}\) nên \(\sqrt 4 > \sqrt {\frac{{98}}{{25}}} \) hay \(\frac{{\sqrt {1404} }}{{\sqrt {351} }} > \sqrt {\frac{{98}}{{25}}} \).
b) Ta có \(\frac{5}{2}\sqrt {\frac{1}{6}} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}.\frac{1}{6}} = \sqrt {\frac{{25}}{{24}}} \); và \(6\sqrt {\frac{1}{{35}}} = \sqrt {{6^2}.\frac{1}{{35}}} = \sqrt {\frac{{36}}{{35}}} \)
Ta thấy \(\frac{{25}}{{24}} > \frac{{36}}{{35}}\) nên \(\sqrt {\frac{{25}}{{24}}} > \sqrt {\frac{{36}}{{35}}} \) hay \(\frac{5}{2}\sqrt {\frac{1}{6}} > 6\sqrt {\frac{1}{{35}}} \).
c) Ta có \( - 5\sqrt 8 = - \sqrt {200} \).
Ta thấy \(200 > 190\) nên \(\sqrt {200} > \sqrt {190} \), do đó \( - \sqrt {200} < - \sqrt {190} \). Vậy \( - 5\sqrt 8 < - \sqrt {190} \).
d) Ta có \(16 = \sqrt {256} \) và \(\sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {255} \).
Ta thấy \(\sqrt {256} > \sqrt {255} \) nên \(16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
So sánh:
a) \(\sqrt 5 .\sqrt {11} \) và \(\sqrt {56} \);
b) \(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }}\) và 7.
Bài 2 :
Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sqrt {1\frac{2}{3}} :\sqrt {\frac{1}{{15}}} \);
b) \(\sqrt {4,9} .\sqrt {1\;000} \).
Bài 3 :
Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:
a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } \);
b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\).
Bài 4 :
Thực hiện phép tính \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8 + \sqrt 7 }} + \sqrt {175} - 2\sqrt 2 } \right)^2}\).
Bài 5 :
a) \(\sqrt {24} :\sqrt 2 .\sqrt 3 \)
b) \(\sqrt {27} .\sqrt {50} :\sqrt 6 \)
c) \(\sqrt {32} :\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}:\left( { - \sqrt {45} } \right)\)
d) \(\frac{{\sqrt {8,5} .\sqrt {15,3} }}{{\sqrt {0,45} }}\)
Bài 6 :
Cho các biểu thức \(A = \frac{{\sqrt {{{35}^3} + 1} }}{{\sqrt {{{35}^2} - 34} }};B = \left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)
Chứng minh \(A = 6;B = - 2.\)
Bài 7 :
Rút gọn biểu thức:
a) \(\sqrt {20} - \sqrt {45} + \sqrt 5 \)
b) \({\left( {\sqrt 6 - \sqrt 5 } \right)^2} + \sqrt {120} \)
c) \(\left( {3\sqrt 5 + \sqrt {13} } \right)\left( {\sqrt {45} - \sqrt {13} } \right)\)
d) \(\left( {2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\sqrt 3 - \sqrt {60} \)
Bài 8 :
Cho \(a = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \) và \(b = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \). Chứng minh:
a) \(a - b\) là một số nguyên.
b) \(ab\) là một số tự nhiên.
Bài 9 :
Trong Hình 1, biết hai hình vuông có diện tích lần lượt là 108 cm2 và 96 cm2. Diện tích của hình chữ nhật ABCD là
A. \(48\sqrt 3 \) cm2
B. \(24\sqrt 6 \) cm2
C. \(72\sqrt 2 \) cm2
D. 144 cm2
Bài 10 :
Rút gọn biểu thức \(\frac{{\sqrt {20} }}{{\sqrt {24} }}.\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt {10} }}:\left( { - \sqrt {\frac{2}{9}} } \right)\), ta có kết quả
A. \( - \sqrt 2 \)
B. \( - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
C. \( - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
D. \( - \sqrt 3 \)
Bài 11 :
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
a) Chiều dài của cạnh AB là \(2\sqrt 2 \) m.
b) Chênh lệch chiều dài giữa hai cạnh AB và CD là \(\sqrt {10} \) m.
c) Diện tích của bức tường là \(10\sqrt 6 \) m2.
d) Chiều dài cạnh AD là \(\sqrt {26} \)m.
Bài 12 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB = \sqrt 2 ,AC = \sqrt 6 \). Tính giá trị đúng (không làm trò) của
a) Chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Độ dài đường cao AH của tam giác ABC.
Bài 13 :
So sánh:
a) \(5\sqrt 5 \) và \(4\sqrt 3 \)
b) \(\sqrt {36 + 16} \) và \(\sqrt {36} + \sqrt {16} \)
c) \(\frac{1}{{\sqrt {60} }}\) và \(2\sqrt {\frac{1}{{15}}} \)
d) \(\sqrt 6 - \sqrt 2 \) và 1
Bài 14 :
Tìm x, biết:
a) \(\frac{5}{3}\sqrt {15x} - \sqrt {15x} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt {15x} \) với \(x \ge 0\).
b) \(\sqrt {9{x^2}} = \left| { - 18} \right|\) với \(x \ge 0\).
c) \({x^2} - 8 = 0\)
d) \(\sqrt {{x^2} - 49} - \sqrt {x - 7} = 0\) với \(x \ge 7\)
Bài 15 :
Xét 4 khẳng định sau:
(1) \(\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| {ab} \right|\), (a, b tùy ý);
(2) \(\sqrt {{a^2}{b^2}} = ab\), (a, b tùy ý);
(3) \(\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| a \right|\left| b \right|\), (a, b tùy ý);
(4) \(\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left( { - a} \right)\left( { - b} \right)\), (a, b tùy ý);
Trong 4 khẳng định trên, số khẳng định đúng là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Bài 16 :
Thực hiện phép tính:
a) \(\sqrt 3 \left( {\sqrt {192} - \sqrt {75} } \right)\);
b) \(\frac{{ - 3\sqrt {18} + 5\sqrt {50} - \sqrt {128} }}{{7\sqrt 2 }}\).
Bài 17 :
Chứng minh rằng:
a) \({\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} = 3 - 2\sqrt 2 \);
b) \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^2} = 5 + 2\sqrt 6 \).
