Đề bài

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:

• A. $3$      
• B. $4$
• C. $5$     
• D. $6$

Phương pháp giải

Gọi \(z = a + bi\), thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ \(a,b\).

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ để đánh giá \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử \(z = a + bi\), theo giả thiết ta có

\(|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  = 10\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\(10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  \le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]} \) \( = \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]}  = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \)

Suy ra \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9}  \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\)

Do đó \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 4\)

Đáp án : B

Chú ý

- Xác định sai mô đun số phức.

- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Cách hình học:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\), \(A\left( { - 3;0} \right)\) biểu diễn số phức \( - 3\), \(B\left( {3;0} \right)\) biểu diễn số phức \(3\).

Khi đó \(\left| {z + 3} \right| + \left| {z - 3} \right| = 10 \Leftrightarrow MA + MB = 10 = 2.5\) nên tập hợp điểm biểu diễn \(z\) là elip \(\left( E \right)\) có \(c = 3,a = 5 \Rightarrow b = 4\) \( \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{16} = 1\).

Vẽ elip trên mặt phẳng tọa độ và suy ra GTNN của \(\left| z \right|=OM\). Vì M thuộc Elip trên nên khoảng cách OM nhỏ nhất bằng \(b=4\).