Đề bài

Cho số phức $z$ thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Số phức \(z - i\) có mô đun nhỏ nhất là:

• A. \(\sqrt 5  - 1\)
• B. \(1 - \sqrt 5 \)  
• C. \(\sqrt 5  + 1\)
• D. \(\sqrt 5  + 2\)

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\left| {z - i} \right| = \left| {\left( {z - 2 - 2i} \right) + \left( {i + 2} \right)} \right| \ge \left| {\left| {z - 2 - 2i} \right| - \left| {i + 2} \right|} \right| = \left| {1 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5  - 1\)

Vậy \(\left| {z - i} \right| \ge \sqrt 5  - 1\) nên \(\min \left| {z - i} \right| = \sqrt 5  - 1\)

Đáp án : A

Chú ý

Một số em sẽ giải như sau: \(1 = \left| {z - 2 - 2i} \right| = \left| {\left( {z - i} \right) - \left( {i + 2} \right)} \right| \le \left| {z - i} \right| + \left| {i + 2} \right| = \left| {z - i} \right| + \sqrt 5  \Rightarrow \left| {z - i} \right| \ge 1 - \sqrt 5 \)

Từ đó chọn đáp án B là sai vì \(1 - \sqrt 5  < 0\) nên dấu đẳng thức không thể xảy ra.