Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}\) tại \(x =  - 4\)

b) \(B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}\) tại \(x = 99\)

c) \(C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}}\) tại \(x = 0,7\)

d) \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\) tại \(\frac{1}{{23}}\)

Phương pháp giải

Muốn rút gọn hai phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: tìm nhân tử chung của 2 phân thức rồi quy đồng.

Bước 3: thực hiện rút gọn sau đó tính giá trị của phân thức đã rút gọn

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} \\= \frac{{{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 1}}= \frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}} = \frac{3}{{x - 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x =  - 4\) là: \(\frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}\)

b) Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ne  \pm 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}} = \frac{{ -1}}{{x - 5}} - \frac{x(x +5)}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{ -1}}{{x - 5}} - \frac{x}{x - 5}\\ = \frac{{ - 1 - x}}{{x - 5}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 99\) là: \(\frac{{ - 1 - 99}}{{99 - 5}} = \frac{{ - 50}}{{47}}\)

c) Ta có:

\({x^3} - {x^2} + x - 1 = \left( {{x^3} - {x^2}} \right) + \left( {x - 1} \right) \\= {x^2}\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là: \(x \ne 1\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = 0,7\) là:

\(\frac{{0,7 - 1}}{{0,{7^2} + 1}} = \frac{{ - 30}}{{149}}\)

d) Ta sử dụng:

\(\frac{1}{a(a + 1)} = \frac{(a + 1) - a}{a(a + 1)} = \frac{a + 1}{a(a + 1)} - \frac{a}{a(a + 1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne  - 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} \\ = {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} + {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{x}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là: \(\frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\)