Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}.\)

Phương pháp giải

Kẻ đường cao CH  và AK.

Tính diện tích tam giác ABC và ACD.

 Do đó\({S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}} = \frac{{AB.CH + DC.AK}}{2}\)

Kết hợp với điều kiện \(CH \le BC,AK \le AD\), ta được điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kẻ \(CH \bot AB,AK \bot DC(H \in AB,K \in DC)\).

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.CH}}{2},{S_{ACD}} = \frac{{DC.AK}}{2}\)

Do đó

\({S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}} \\= \frac{{AB.CH}}{2} + \frac{{DC.AK}}{2} = \frac{{AB.CH + DC.AK}}{2}\)

Mà \(CH \le BC,AK \le AD\) suy ra \({S_{ABCD}} \le \frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}\)

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}.\)