Đề bài

Đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

• A. \(2\)  
• B. \(0\)  
• C. \(1\)  
• D. \(3\)  

Phương pháp giải :

- Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số\(y = f(x)\):

Nếu\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} f(x) = a{\mkern 1mu} \) hoặc \({\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {\mkern 1mu} f(x) = a \Rightarrow y = a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Nhân chia biểu thức liên hợp để biến đổi hàm số và tính các giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} f(x)\) và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {\mkern 1mu} f(x)\)

Lời giải chi tiết :

Tập xác định :\(D = \mathbb{R}\) .

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}  + \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{2 + 2}} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}  - \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{ - 2 - 2}} =  - 1}\end{array}\)

Vậy, đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có $2$ tiệm cận ngang là \(y = 1, y =  - 1\) .

Đáp án : A