Đề bài

Đồ thị hàm số $y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

• A. $2$  
• B. $0$  
• C. $1$  
• D. $3$  

Phương pháp giải

- Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số$y = f(x)$:

Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} f(x) = a{\mkern 1mu}$ hoặc ${\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {\mkern 1mu} f(x) = a \Rightarrow y = a$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Nhân chia biểu thức liên hợp để biến đổi hàm số và tính các giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} f(x)$ và$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {\mkern 1mu} f(x)$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tập xác định :$D = \mathbb{R}$ .

$\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}  + \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{2 + 2}} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}}  - \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{ - 2 - 2}} =  - 1}\end{array}$

Vậy, đồ thị hàm số $y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3}  - \sqrt {4{x^2} + 1}$ có $2$ tiệm cận ngang là $y = 1, y =  - 1$ .

Đáp án : A