Đề bài

Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là 18 \({m^3}\). Hãy tính chiều cao h của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?

• A. h = 1 m
• B. h = 2 m
• C. h = 1,5 m
• D. h = 2,5 m

Phương pháp giải

Lập hàm tính diện tích toàn phần của hồ theo h và tìm GTNN của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp.

Theo đề bài ta có \(y = 3x\) và \(V = xyh \Rightarrow h = \frac{V}{{xy}} = \frac{V}{{3{x^2}}}\).

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất. Khi đó ta có:

\({S_{tp}} = 2xh + 2yh + xy = 2x\frac{V}{{3{x^2}}} + 2.3x\frac{V}{{3{x^2}}} + x.3x = \frac{{8V}}{{3x}} + 3{x^2}\).

Ta có: \({S_{tp}} = \frac{{8V}}{{3x}} + 3{x^2} = \frac{{4V}}{{3x}} + \frac{{4V}}{{3x}} + 3{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{16{V^2}}}{3}}} = 36\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{4V}}{{3x}} = 3{x^2} \).

\(\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{4V}}{9}}} = 2 \Rightarrow h = \frac{V}{{3{x^2}}} = \frac{3}{2}\).

Đáp án : C