Đề bài

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n

a) \((2n + 1)^2 − (2n − 1)^2\) chia hết cho 8;

b) \((8n + 4)^2 − (2n + 1)^2\) chia hết cho 15.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức để chứng minh: \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có:

\({\left( {2n + 1} \right)^2} - {\left( {2n - 1} \right)^2} \)

\(= \left( {2n + 1 + 2n - 1} \right)\left( {2n + 1 - 2n + 1} \right) \)

\(= 4n.2 = 8n \vdots 8\) với mọi số nguyên n.

b) Ta có:

\({\left( {8n + 4} \right)^2} - {\left( {2n + 1} \right)^2} \)

\(= \left( {8n + 4 + 2n + 1} \right)\left( {8n + 4 - 2n - 1} \right) \)

\(= \left( {10n + 5} \right)\left( {6n + 3} \right)\)

\( = 15{\left( {2n + 1} \right)^2} \vdots 15\) với mọi số nguyên n