Một cửa hàng sách có hai khu sách mới và sách cũ, mỗi khu được bán đồng giá. Hòa mua 5 cuốn sách mới và 3 cuốn sách cũ hết 124 nghìn đồng. Hôm sau, Hòa tiếp tục ra cửa hàng đó để mua 2 cuốn sách mới và 7 cuốn sách cũ hết 96 nghìn đồng. Tính giá của mỗi cuốn sách mới và giá mỗi cuốn sách cũ.
Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
- Gọi giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là x, y (nghìn đồng). Điều kiện: \(x > 0,y > 0\).
Hòa mua 5 cuốn sách mới và 3 cuốn sách cũ hết 124 nghìn đồng nên ta có phương trình \(5x + 3y = 124\) (1).
Hòa tiếp tục mua 2 cuốn sách mới và 7 cuốn sách cũ hết 96 nghìn đồng nên ta có phương trình \(2x + 7y = 96\) (2).
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 124\\2x + 7y = 96\end{array} \right.\)
- Giải hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 7 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}35x + 21y = 868\\6x + 21y = 288\end{array} \right.\)
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta được \(29x = 580\), suy ra \(x = 20\).
Thay \(x = 20\) vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu ta được: \(5.20 + 3y = 124\), suy ra \(y = 8\).
- Các giá trị \(x = 20\) và \(y = 8\) thỏa mãn các điều kiện của ẩn.
Vậy giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là 20 nghìn đồng và 8 nghìn đồng.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là $63$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$. Tổng các chữ số của số đó là
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $5$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $50\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $45km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $165\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $30$ phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $AB$.
Một ôtô dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $3$ giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(10\,km\) thì đến nơi chậm mất $5$ giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.
Một canô chạy trên sông trong $7$ giờ, xuôi dòng \(108\,km\) và ngược dòng \(63\,km\) . Một lần khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng \(81\,km\) và ngược dòng \(84\,km\) . Tính vận tốc nước chảy.
Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(38\,km\) . Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai \(2\,km\) ?
Một khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài \(640\,km\). Hỏi vận tốc của tàu hỏa , biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \(5\,km\) ?
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$ giờ $48$ phút bể đầy. Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy riêng trong $3$ giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể. Tính thời gian vòi I một mình đầy bể.
Hai bạn $A$ và $B$ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $6$ ngày. Hỏi nếu $A$ làm một nửa công việc rồi nghỉ thì $B$ hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì $B$ làm lâu hơn $A$ là $9$ ngày.
Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được $800$ sản phẩm. Sang tháng thứ $2$ , tổ $1$ sản xuất vượt mức $12\% $ , tổ $2$ giảm $10\% $ so với tháng đầu nên cả hai tổ làm được $786$ sản phẩm. Tính số sản phẩm tổ $1$ làm được trong tháng đầu.
Một tam giác có chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$ . Tính diện tích của tam giác ban đầu.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$ $m.$ Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và tăng chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$ $m$. Tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Hai giá sách có $450$ cuốn. Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên giá thứ hai.
Trên một cánh đồng cấy $60$ ha lúa giống mới và $40$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $460$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa mới trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $3$ ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn $4$ ha trồng lúa cũ là $1$ tấn.
Trong một kì thi, hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có $338$ học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường $A$ có \(97\% \) và trường $B$ có \(96 \% \) số học sinh trúng tuyển. Hỏi trường $B$ có bao nhiêu học sinh dự thi.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $42$ m. Đường chéo hình chữ nhật dài $15$ m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.
Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là $18$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $66$. Tổng các chữ số của số đó là
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $6$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{{13}}{{31}}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $52\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $42km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $272\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $2$ giờ. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $BC$.
Một xe đạp dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $1$ giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(5\,km\) thì đến nơi chậm mất $2$ giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.
Một chiếc canô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được \(380\,km\) . Một lần khác canô này xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong vòng 30 phút được \(85\,km\) . Hãy tính vận tốc của dòng nước ( vận tốc thật của canô và vận tốc dòng nước ở hai lần là như nhau ).
Hai người đi xe máy xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(225\,km\) . Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $3$ giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng vận tốc người thứ nhất lớn hơn người thứ hai \(5\,km/h\) ?
Một khách du lịch đi trên ôtô $5$ giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong $3$ giờ được quãng đường dài \(330\,km\). Hỏi vận tốc của ô tô , biết rằng mỗi giờ xe máy đi chậm hơn ôtô \(10\,km\) ?
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau 1,5h sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong \(\dfrac{1}{3}\) h thì được \(\dfrac{1}{5}\) bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Hai bạn $A$ và $B$ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $8$ ngày. Hỏi nếu $A$ làm riêng hết \(\dfrac{1}{3}\) công việc rồi nghỉ thì $B$ hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu ? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì $A$ làm nhanh hơn B là $12$ ngày.
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức $30\% $ và tổ II bị giảm năng suất $22\% $ so với tháng thứ nhất. Vì vậy 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai tổ 2 sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Một tấm bìa hình tam giác có chiều cao bằng $\dfrac{1}{4}$ cạnh đáy tương ứng. Nếu tăng chiều cao $2dm$ và giảm cạnh đáy $2dm$ thì diện tích tam giác tăng thêm $2,5{dm^2}$. Tính chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lúc ban đầu.
Một hình chữ nhật có chu vi $300cm$. Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Nam có 360 viên bi trong hai hộp. Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng \(\dfrac{5}{7}\) số viên bị ở hộp thứ hai. Hỏi hộp thứ hai có bao nhiêu viên bi?
Trên một cánh đồng cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa cũ trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn.
