Thầy Nam dạy Toán đang thiết kế một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm hai loại câu hỏi, câu hỏi đúng/ sai và câu hỏi nhiều lựa chọn. Bài kiểm tra sẽ được tính trên thang điểm 100, trong đó mỗi câu hỏi đúng/ sai có giá trị 2 điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị 4 điểm. Thầy Nam muốn số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/ sai.
a) Gọi số câu hỏi đúng/ sai là x, số câu hỏi nhiều lựa chọn là y \(\left( {x,y \in \mathbb{N}*} \right)\). Viết hệ hai phương trình biểu thị số lượng của từng loại câu hỏi.
b) Giải hệ phương trình trong câu a để biết số lượng câu hỏi mỗi loại trong bài kiểm tra bao nhiêu.
a) Dựa vào đề bài để viết hệ phương trình.
b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được số câu hỏi đúng/ sai và câu hỏi nhiều lựa chọn.
a) Vì số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/ sai nên \(y = 2x\).
Vì bài kiểm tra sẽ được tính trên thang điểm 100, trong đó mỗi câu hỏi đúng/ sai có giá trị 2 điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị 4 điểm nên ta có: \(2x + 4y = 100\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x\\2x + 4y = 100\end{array} \right.\).
b) Thay \(y = 2x\) vào phương trình thứ hai của hệ ta được: \(2x + 4.2x = 100\), suy ra \(x = 10\).
Thay \(x = 10\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(y = 2.10 = 20\).
Giá trị \(x = 10\) và \(y = 20\) thỏa mãn điều kiện của hệ.
Vậy có 10 câu hỏi đúng/ sai và 20 câu hỏi nhiều lựa chọn trong bài kiểm tra.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
-
A.
$5$
-
B.
$\dfrac{84}{25}$
-
C.
$\dfrac{25}{84}$
-
D.
$\dfrac{84}{5}$
Bài 2 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
-
A.
$\dfrac{5}{4}$
-
B.
$\dfrac{9}{2}$
-
C.
$\dfrac{3}{2}$
-
D.
$\dfrac{7}{4}$
Bài 3 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số.
Bài 4 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.
-
A.
$\dfrac{{13}}{8}$
-
B.
$ - \dfrac{{13}}{8}$
-
C.
$\dfrac{5}{8}$
-
D.
$ - \dfrac{5}{8}$
Bài 5 :
Cho hai đường thẳng:
${d_1}:mx - 2\left( {3n + 2} \right)y = 6$ và ${d_2}:\left( {3m - 1} \right)x + 2ny = 56.$
Tìm tích $m. n$ để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $I\left( { - 2;3} \right)$.
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$ - 2$
Bài 6 :
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M(3; - 5),N\left( {1;2} \right)\)
-
A.
$a = \dfrac{7}{2};b = \dfrac{-11}{2}$
-
B.
$a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{-11}{2}$
-
C.
$a = \dfrac{7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
-
D.
$a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
Bài 7 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số.
Bài 8 :
Biết nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính $9x + 2y$.
-
A.
$10$
-
B.
$14$
-
C.
$11$
-
D.
$13$
Bài 9 :
Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm hệ thức liên hệ giữa $x, y$ không phụ thuộc vào $m$
-
A.
$2x + y + 3 = 0$
-
B.
$2x - y = 3$
-
C.
$ - 2x + y = 3$
-
D.
$2x + y = 3$
Bài 10 :
Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm giá trị của m để : \(6x - 2y = 13.\)
-
A.
$m = - 9$
-
B.
$m = 9$
-
C.
$m = 8$
-
D.
$m = - 8$
Bài 11 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2\end{array} \right.\)có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích ${x^2}.y$ là
-
A.
$7000$
-
B.
$490$
-
C.
$70$
-
D.
$700$
Bài 12 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right.\)có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
-
A.
$\dfrac{5}{9}$
-
B.
$ - \dfrac{5}{{19}}$
-
C.
$\dfrac{5}{{19}}$
-
D.
$ - \dfrac{5}{9}$
Bài 13 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {y + 3} \right)}\\{\left( {x - 3} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right)}\end{array}} \right.\) . Chọn câu đúng.
-
A.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\)
-
B.
Hệ phương trình vô nghiệm
-
C.
Hệ phương trình vô số nghiệm
-
D.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\)
Bài 14 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 4\\bx - ay = - 5\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$ ,tính $a + b$.
-
A.
$ - 1$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$ - 7$
Bài 15 :
Cho hai đường thẳng : \({d_1}:mx - 2(3n + 2)y = 18\) và \({d_2}:(3m - 1)x + 2ny = - 37\) . Tìm các giá trị của m và n để \({d_1},{d_2}\) cắt nhau tại điểm $I\left( { - 5;2} \right).$
-
A.
$m = 2;n = 3.$
-
B.
$m = - 2;n = - 3.$
-
C.
$m = 2;n = - 3.$
-
D.
$m = 3;n = - 2.$
Bài 16 :
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( { - 2;3} \right)\)
-
A.
$a = - \dfrac{1}{2};b = 2$
-
B.
$a = \dfrac{1}{2};b = 2$
-
C.
$a = 2;b = - \dfrac{1}{2}$
-
D.
$a = - \dfrac{1}{2};b = 1$
Bài 17 :
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = 3}\\{\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm là
-
A.
$\left( { - \dfrac{1}{2}; - 2} \right)$
-
B.
$\left( {2;\dfrac{1}{2}} \right)$
-
C.
$\left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right)$
-
D.
$\left( {2; - \dfrac{1}{2}} \right)$
Bài 18 :
Biết nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{4}}\\{\dfrac{5}{{6x}} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)là $\left( {x;y} \right)$. Tính $x - 3y$
-
A.
$ - 2$
-
B.
$2$
-
C.
$6$
-
D.
$ - 4$
Bài 19 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\). Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:
-
A.
\(2x + y = 3\)
-
B.
\(\dfrac{x}{y} = 3\)
-
C.
\(xy = 3\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} = 1\)
Bài 20 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\) . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn \(2x + 2y = 5\)
-
A.
\(m = - \dfrac{5}{8}\)
-
B.
\(m = \dfrac{5}{8}\)
-
C.
\(m = \dfrac{8}{5}\)
-
D.
\(m = - \dfrac{8}{5}\)
Bài 21 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = - 2\\3\left( {x + y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right.\) ta được nghiệm là:
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).
-
B.
\(\left( {\dfrac{1}{2}; 1} \right)\).
-
C.
\(\left( {-1;\dfrac{1}{2}} \right)\).
-
D.
\(\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Bài 22 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right.\), với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
-
A.
\(m = \pm 2\)
-
B.
\(m \ne \pm 2\)
-
C.
m = 2
-
D.
m = - 2
Bài 23 :
Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\\\left( {m + 1} \right)x + 2my = 2m + 4\end{array} \right.\)
-
A.
\(m \in \left\{ {3;0; - 2} \right\}\)
-
B.
\(m=3\)
-
C.
\(m=0\)
-
D.
\(m=-2\)
Bài 24 :
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x + 8y = 4a\\ax + \left( {a + 3} \right)y = 3a - 1\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
-
A.
\(a=1\)
-
B.
\(a=2\)
-
C.
\(a=3\)
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều đúng
Bài 25 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x = 1 + y\end{array} \right.\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,1} \right)\)
-
B.
\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)\)
-
D.
\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,5} \right)\)
Bài 26 :
Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{y^2}}} = 3\\\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{6}{{{y^2}}} = 10\end{array} \right.\), ta được các nghiệm là:
-
A.
Vô nghiệm
-
B.
\(\left( { - 1;1} \right),\left( {1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right).\)
-
C.
\(\left( { - 1;1} \right);\left( {1; - 1} \right);\left( { - 1; - 1} \right).\)
-
D.
\(\left( { - 1;1} \right),\left( {1;1} \right).\)
Bài 27 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right.\)
Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:
-
A.
\(2x + y = 3\)
-
B.
\(\displaystyle {x \over y} = 3\)
-
C.
\(xy = 3\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} = 1\)
Bài 28 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - 3y = 1\end{array} \right..\) Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.
2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá tị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bài 29 :
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 2x + 5y = 1;\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = - 1\\7x + 2y = -3.\end{array} \right.\)
Bài 30 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\4x - 2y = - 4\end{array} \right.\) bằng phương pháp thế
