Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B, rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A. Thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng. Biết rằng độ dài quãng đường AB là 24 km, tốc độ của dòng nước là 3 km/h và tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường.
Vận tốc khi cano xuôi dòng = vận tốc thực của cano + vận tốc dòng nước.
Vận tốc khi cano ngược dòng = vận tốc thực của cano - vận tốc dòng nước.
Phương trình: Thời gian ca nô đi xuôi dòng hơn thời gian ngược dòng 40 phút = \(\frac{2}{3}h\).
Gọi vận tốc của cano khi nước yên lặng là x (km/h, x > 3).
Khi đi xuôi dòng, vận tốc cano là x + 3 (km/h), hết thời gian \(\frac{{24}}{{x + 3}}(h).\)
Khi đi ngược dòng, vận tốc cano là x - 3 (km/h), hết thời gian \(\frac{{24}}{{x - 3}}(h).\)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút = \(\frac{2}{3}h\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{24}}{{x - 3}} - \frac{{24}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\\24.3.\left( {x + 3} \right) - 24.3.\left( {x - 3} \right) = 2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\\72x + 216 - 72x + 216 - 2{x^2} + 18 = 0\\ - 2{x^2} + 450 = 0\\{x^2} = 225\\x = 15\,hay\,x = - 15\end{array}\)
Ta thấy \(x = 15\) thỏa mãn điều kiện \(x > 3\), nên vận tốc của cano khi nước yên lặng là 15km/h.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - 3\)
-
B.
\(x = - 2\)
-
C.
Vô nghiệm
-
D.
Vô số nghiệm
Bài 2 :
Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:
a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\).
b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 3 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Bài 4 :
Phương trình \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\) có số nghiệm là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 5 :
Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau:
Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$
Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$
\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Bước 3: Suy ra
\(x - 2 - 7x + 7 = - 1 \\- 6x = - 6 \\x = 1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Long giải sai từ bước \(1\)
-
B.
Bạn Long giải sai từ bước \(2\)
-
C.
Bạn Long giải sai từ bước \(3\)
-
D.
Bạn Long giải đúng.
Bài 6 :
Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$ sao cho \(A = B\) .
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
Cả A và B.
Bài 7 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
-
A.
Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
-
B.
Hai phương trình có cùng số nghiệm
-
C.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\)
-
D.
Hai phương trình tương đương
Bài 8 :
Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\({x_0} > 0\)
-
B.
\({x_0} < - 5\)
-
C.
\({x_0} = - 10\)
-
D.
\({x_0} > 5\)
Bài 9 :
Một ô tô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định $10$ km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định $6$ km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường $AB$ ?
-
A.
\(3\) giờ
-
B.
\(6\) giờ
-
C.
\(5\) giờ
-
D.
\(2\) giờ
Bài 10 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - 4\)
-
B.
\(x = - 2\)
-
C.
Vô nghiệm
-
D.
Vô số nghiệm
Bài 11 :
Phương trình \(\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(x = \dfrac{5}{2}\)
-
C.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(x = - \dfrac{5}{2}\)
Bài 12 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) là
-
A.
Vô số nghiệm $x \ne \pm 2$
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(0\)
Bài 13 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\) là
-
A.
\(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}\)
Bài 14 :
Phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\) có tập nghiệm là
-
A.
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ 4 \right\}\)
-
C.
\(S = \emptyset \)
-
D.
\(S = \mathbb{R}\)
Bài 15 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) là
-
A.
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 1} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {0; - 1} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ 0 \right\}\)
Bài 16 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\) là:
-
A.
\(S = \left\{ 3 \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ 5 \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 5} \right\}\)
Bài 17 :
Phương trình \(\dfrac{3}{{1 - 4x}} = \dfrac{2}{{4x + 1}} - \dfrac{{8 + 6x}}{{16{x^2} - 1}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(x = 2\)
-
C.
\(x = 3\)
-
D.
\(x = 1\)
Bài 18 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{{5x - 1}} + \dfrac{2}{{3 - 5x}} = \dfrac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Bài 19 :
Cho hai phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\,\left( 1 \right)\) và \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\,\left( 2 \right)\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hai phương trình tương đương.
-
B.
Hai phương trình không tương đương.
-
C.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
-
D.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm.
Bài 20 :
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(40km/h\). Đi được \(15\) phút, người đó gặp một ô tô từ \(B\) đến với vận tốc \(50km/h\). Ô tô đến \(A\) nghỉ \(15\) phút rồi trở về \(B\) và gặp người đi xe máy cách \(B\) là \(20km\). Quãng đường \(AB\) dài là:
-
A.
\(120km\)
-
B.
\(150km\)
-
C.
\(160km\)
-
D.
\(180km\)
Bài 21 :
Phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{3x + 3}} = 1\) có số nghiệm là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 22 :
Cho phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\). Bạn Long giải phương trình như sau:
Bước 1: ĐKXD \(x \ne 1;\,x \ne 2\)
Bước 2: \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\( \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Bước 3: Suy ra \(x - 2 - 7x + 7 = 1\)
\( - 6x = - 4 \\x = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Long giải sai từ bước \(1\)
-
B.
Bạn Long giải sai từ bước \(2\)
-
C.
Bạn Long giải sai từ bước \(3\)
-
D.
Bạn Long giải đúng.
Bài 23 :
Cho hai biểu thức: \(A = 1 - \dfrac{1}{{2 - x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} - 8}}\). Giá trị của \(x\) để \(A = B\) là:
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
Không có \(x\)
-
D.
\(x = 2\)
Bài 24 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x}} + \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\). Khẳng định nào sau đây là sai.
-
A.
Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
-
B.
Hai phương trình có cùng số nghiệm
-
C.
Hai phương trình có cùng tập nghiệm
-
D.
Hai phương trình tương đương
Bài 25 :
Cho phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} = \dfrac{1}{3}\).
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:
-
A.
\( - 48\)
-
B.
\(48\)
-
C.
\( - 50\)
-
D.
\(50\)
Bài 26 :
Xét phương trình \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 9}}{{x - 3}}.\left( 2 \right)\)
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;
c) Giải phương trình vừa tìm được;
d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).
Bài 27 :
Giải phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{x}{{{x^2} + x + 1}}.\)
Bài 28 :
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)
b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.\)
Bài 29 :
Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, \(x > 0\)).
a) Hãy biểu thị theo x:
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;
b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
Bài 30 :
Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là
\(C\left( x \right) = \frac{{50x}}{{100 - x}}\) (triệu đồng), với \(0 \le x < 100.\)
Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể lọai bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?
