Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(y = 0\) và $x = 4$ quanh trục $Ox$ . Đường thẳng \(x = a\) \((0 < a < 4)\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) tại $M$ (hình vẽ bên).
Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn tạo thành khi quay quanh tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng \(V = 2{V_1}\) . Khi đó:
-
A.
\(a = 2\sqrt 2 \)
-
B.
$a = \dfrac{5}{2}$
-
C.
\(a = 2\)
-
D.
$a = 3$
Ứng dụng tích phân để tính thể tích $V$, từ đó tìm được $V_1$.
Biểu diễn $V_1$ theo $a$ dưới dạng công thức tính thể tích khối nón. Tính $a$.
Thể tích khối tròn xoay là:
$V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4} = 8\pi $.
Suy ra ${V_1} = 4\pi $.
Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $x=a$ và trục hoành. Khi đó ${V_1}$ là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác $OMN$ và $MNH$ quanh trục $Ox$ với $N$ là hình chiếu của $M$ trên $OH$.
Ta có: ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .a.{\left( {\sqrt a } \right)^2} + \dfrac{1}{3}\pi .\left( {4 - a} \right).{\left( {\sqrt a } \right)^2} = \dfrac{4}{3}\pi a$.
Suy ra $\dfrac{4}{3}\pi a = 4\pi \Rightarrow a = 3$.
Đáp án : D
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$, hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a < b)$ quay quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} dx\).
Thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác quanh 1 cạnh là:
$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$,
với $r$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.
Danh sách bình luận