Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?
Gọi x là số lít nước cam loại A, y là là số lít nước cam loại B nên pha.
Từ giả thiết, lập hệ bất phương trình hai ẩn x, y, biểu diễn miền nghiệm và tìm GTLN của doanh thu.
a) Gọi x là số lít nước cam loại A, y là là số lít nước cam loại B nên pha. Ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.
Miền nghiệm là miền không gạch chéo (miền ngũ giác OABCD) với các đỉnh O(0;0), A(0;6), B(4;5), C(6;3), D(7;0).
Doanh thu F = 60x + 80y (nghìn đồng).
Ta có:
Tại O(0;0): F(0;0) = 60.0 + 80.0 = 0;
Tại A(0;6): F(0;6) = 60.0 + 80.6 = 480;
Tại B(4;5): F(4;5) = 60.4 + 80.5 = 640;
Tại C(6;3): F(6;3) = 60.6 + 80.3 = 600;
Tại D(7;0): F(7;0) = 60.7 + 80.0 = 420.
Suy ra GTLN của F bằng 640 (nghìn đồng) tại x = 4 và y = 5.
Vậy người đó nên pha chế 4 l nước cam loại A và 5 l nước cam loại B để có doanh thu cao nhất.
Quy hoạch tuyến tính
Đây là một phương pháp toán học được sử dụng để tìm giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm mục tiêu tuyến tính, chịu sự ràng buộc bởi một hệ bất phương trình hoặc phương trình tuyến tính.
Phương pháp giải:
– Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
– Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, biểu thị điều kiện đề bài đưa ra trong một tình huống nào đó… Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.
Danh sách bình luận