Đề bài

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} .\)

Phương pháp giải

G là trọng tâm tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) với điểm M bất kì.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với điểm M bất kì ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

Chọn M trùng A, ta được: \(\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} .\)

Xem thêm : SGK Toán 10 - Cánh diều

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Chọn khẳng định sai:

A.

Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {BI} = \vec 0\).
B.

Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AB} \).
C.

Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} = \vec 0\).
D.

Nếu \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\).

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho \(I\) là trung điểm \(AB\). Với mỗi điểm \(M\) bất kì ta luôn có:

A.

\(\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} .\)
B.

\(\overrightarrow {MI} = 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\)
C.

\(\overrightarrow {MI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\)
D.

\(\overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB}. \)

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho hai điểm \(A\) và \(B\) phân biệt. Điều kiện để \(I\) là trung điểm \(AB\) là:

A.

\(IA = IB.\)
B.

\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} .\)
C.

\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 .\)
D.

\(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} .\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có

\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \).

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AN} \)

b) \(\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BA} \)

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} \)

b) \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b .\) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {CG} \) theo hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b .\)

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)

c) \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)

Phương pháp

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)(với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

c) Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)(với M là trung điểm của AB)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết \(\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AM} .\) Hoàn thành phép cộng vectơ sau: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MM} = ?\)

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GD} \) và \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {DG} \), hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {{\rm{DD}}} = ?\)

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0\). Xác định vị trí điểm M.

A. M thỏa mãn hình bình hành ACBM.

B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

C. M trùng với C.

D. M là trọng tâm tam giác ABC.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý thuộc cạnh \(BC,\) khác \(B\) và \(C.\) \(MO\) cắt cạnh \(AD\) tại \(N.\)

a) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(MN.\)

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Chứng minh rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC.\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Trên cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\) không trùng với \(B\) và \(C\) sao cho \(BM = MN = NC.\)

a) Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có cùng trọng tâm.

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Đặt \(\overrightarrow {GB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {GC} = \overrightarrow v .\) hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v :\,\,\overrightarrow {GA} ,\,\,\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} .\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho ba điểm A, B, M phân biệt. Điều kiện cần và đủ để điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \)

B. \(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|\)

C. \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng

D. \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để điểm G là trọng tâm tam giác ABC là:

A. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GC} \)

B. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AG} \)

C. \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GB} \)

D. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo , E là trung điểm của AD, G là giao điểm của BE và AC. Tính:

a) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \).

b) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} \).

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OA} \)

B. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \)

C. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {OB} \)

D. \(\overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AB} \)

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow {AM} = - 3\overrightarrow {GM} \)

B. \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {GM} \)

C. \(\overrightarrow {AM} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {GM} \)

D. \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh rằng:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) (*)

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MN} \)

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho 2 điểm M, N thỏa mãn:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \).

Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. \(IA = IB\)

B. \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \)

C. \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \)

D. \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \)

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \)

B. \(\overrightarrow {IG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} \)

C. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \)

D. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \)

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh \(Q\left( {7; - 2} \right),R( - 4;9)\) và \(S(5;8)\)

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB, \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) là trọng tâm của tam giác ABC

a) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \)

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OC} \)

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho tam giác ABC có các điểm \(M\left( {2;2} \right),N\left( {3;4} \right),P\left( {5;3} \right)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

b) Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c) Giải tam giác ABC.

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2;3), B(-1; 1), C(3;- 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho\(\overrightarrow {AM{\rm{ }}} = {\rm{ }}\overrightarrow {BC} \) .

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh\(\overrightarrow {BN} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow {NM} \) .

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho hai điểm A(2; 4) và M(5 ; 7). Tìm toạ độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( minh họa ở Hình 20)

a) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \) , \(\overrightarrow {OB} \)và \(\overrightarrow {OC} \).

b) Tìm tọa độ G theo tọa độ của A, B, C.

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(2;0), N(4;2), P(1;3).

a) Tìm toạ độ các điểm A, B, C.

b) Trọng tâm hai tam giác ABC và MNP có trùng nhau không? Vì sao?

Xem lời giải >>