Đề bài

Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệm tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: \(y =  - 200{x^2} + 92\;000x - 8\;400\;000\), trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của \(y =  - 200{x^2} + 92\;000x - 8\;400\;000\), tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x) =  - 200{x^2} + 92000x - 8400000\).

Làm thế nào để xét dấu của tam thức bậc hai?

Phương pháp giải

Tính \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\) với \(b=92000 = 2b', a= -200, c = 8400000\).

Nếu \(\Delta ' > 0\) thì \(f\left( x \right)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó:

\(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\);

\(f\left( x \right)\) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét dấu tam thức bậc hai tức là kiểm tra về dấu của tam thức bậc hai theo từng (khoảng) giá trị của ẩn.

Ta có \(a =  - 200 < 0,b = 92 000, c = 8400 000\).

\(\Delta ' = {(92000:2)}^2 - \left( { - 200} \right). 8400 000 = 436000000 > 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) có 2 nghiệm \(x = 230 \pm 10\sqrt 109\). Khi đó:

\(f\left( x \right) < 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; 230 - 10\sqrt 109} \right)\) và \(\left( {230 + 10\sqrt 109; + \infty } \right)\);

\(f\left( x \right) > 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( {230-10\sqrt 109; 230 + 10\sqrt 109} \right)\).

Mở rộng

Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c \) \((a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).

- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).

- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).

Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).

- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\).