Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ ;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ;

c)  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ với O là giao điểm của AC và BD.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc tính tổng và hiệu của hai vecto, vecto đối và định lý Pytago

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Vì ABCD là hình vuông nên ABCD cũng là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DB} \)

Suy ra, \(\left| {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right|\)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ADB ta có:

\(D{B^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)

\( \Rightarrow DB = a\sqrt 2 \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right| = a\sqrt 2 \)

b)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \)

Suy ra, \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right|\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 2 \)

c)

Vì O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC (tính chất hình vuông)

Suy ra, \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CO} \)

Khi đó, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CO}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CB} \)

Vậy, \(\left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a\)