Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.
Bước 1: Tính diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA bằng công thức Herong:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Bước 2: Tính diện tích ngũ giác ABCDE, bằng tổng diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA.
Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441, CB = 575 và DB = 538 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{441 + 575 + 538}}{2} = 777(m)\)
Do đó: \({S_{CDB}} = \sqrt {777.\left( {777 - 441} \right).\left( {777 - 575} \right).\left( {777 - 538} \right)} \approx 112267,7\left( {{m^2}} \right)\)
Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217, EB = 476 và DB = 538 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{217 + 476 + 538}}{2} = 615,5(m)\)
Do đó: \({S_{DBE}} = \sqrt {615,5.\left( {615,5 - 217} \right).\left( {615,5 - 476} \right).\left( {615,5 - 538} \right)} \approx 51495,13\left( {{m^2}} \right)\)
Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401, EB = 476 và BA =256 (đơn vị: m)
Và nửa chu vi là: \(\frac{{401 + 476 + 256}}{2} = 566,5(m)\)
Do đó: \({S_{ABE}} = \sqrt {566,5.\left( {566,5 - 401} \right).\left( {566,5 - 476} \right).\left( {566,5 - 256} \right)} \approx 51327,97\left( {{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích S của ngũ giác ABCDE là: \(S = {S_{CDB}} + {S_{DBE}} + {S_{ABE}} \approx 112267,7 + 51495,13 + 51327,97 = 215090,8\left( {{m^2}} \right)\)
Chú ý
+) Để tính diện tích ngũ giác ABCDE thông qua các tam giác nhỏ, ta cần chọn các tam giác thỏa mãn: “phần trong của chúng không đè lên nhau” và “ghép lại vừa khít tạo thành ngũ giác ABCDE”
+) Ưu tiên tính thông qua các tam giác đã biết đủ các cạnh.
Các bài tập cùng chuyên đề
Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?
Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).
Cho tam giác ABC với đường cao BD.
a) Biểu thị BD theo AB và sinA.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.
Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.
A. \(S = \frac{1}{2}ca\)
B. \(S = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}ac\)
C. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}bc\)
D. \(S = \frac{{\sqrt 2 }}{4}ca\)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).
a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:
\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.
Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là \({48^o}\) và \({105^o}\) (Hình 12).
Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) Các cạnh \(b = 14,c = 35\) và \(\widehat A = {60^o}\)
b) Các cạnh \(a = 4,b = 5,c = 3\)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).
a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{{r(a + b + c)}}{2}\)
Cho tam giác ABC như Hình 10.
a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và \({h_a}\)
b) Tính \({h_a}\) theo b và sinC.
c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)
d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)
Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là \({35^o}.\)
b) Diện tích tam giác ABC
Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 8 cm, \(\widehat {BAC} = {60^o}\). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có AB = 4, BC = 7, \(\widehat B = {150^o}\). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có AB = 6, AC = 9, \(\widehat A = {60^o}\). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác \(ABC\) có \(a = 2,\,\,b = 3,\,\,c = 4.\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABC\) là:
A. \(R = \frac{{\sqrt {15} }}{2}.\)
B. \(R = \frac{7}{{\sqrt {15} }}.\)
C. \(R = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.\)
D. \(R = \frac{8}{{\sqrt {15} }}.\)
Tam giác \(ABC\) có \(a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = 6.\) Độ dài đường cao \({h_b}\) bằng:
A. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{2}.\)
B. \(\frac{3}{{2\sqrt 7 }}.\)
C. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{4}.\)
D. \(\frac{3}{{4\sqrt 7 }}.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 20,\,\,b = 16\) và \({m_a} = 10.\) Diện tích của tam giác bằng:
A. \(92.\)
B. \(100.\)
C. \(96.\)
D. \(88.\)
Tam giác \(ABC\) có \(a = 14,\,\,b = 9\) và \({m_a} = 8.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) bằng:
A. \(\frac{{24\sqrt 5 }}{7}.\)
B. \(\frac{{12\sqrt 5 }}{7}.\)
C. \(12\sqrt 5 .\)
D. \(24\sqrt 5 .\)
Cho tam giác ABC có \(a = 24\)cm, \(b = 26\)cm, \(c = 30\)cm
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
Cho tam giác MNP có \(MN = 10,MP = 20\) và \(\widehat M = 42^\circ \)
a) Tính diện tích tam giác MNP
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Tính diện tích tam giác ONP
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau.
Cho tam giác ABC và có các điểm B’, C’ trên các cạnh AB, AC.
Chứng minh \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{AB.AC}}{{AB'.AC'}}\).
Tính diện tích bề mặt của một miếng bánh mì kẹp kebab hình tam giác có hai cạnh lần lượt là 10 cm, 12 cm và góc tạo bởi hai cạnh đó là \(35^\circ \).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có \(AB = AC = 30\) cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích của tam giác GFC là:
A. 50 \(cm^2\)
B. \(50\sqrt 2 \) \(cm^2\)
C. 75 \(cm^2\)
D. \(15\sqrt {105} \) \(cm^2\)
Tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
A. 2S
B. 3S
C. 4S
D. 6S
Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có:
\(r = \frac{{\sqrt {(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)} }}{{2\sqrt {a + b + c} }}\)
Cho tam giác ABC. Tìm công thức đúng trong các công thức sau:
