Đề bài

a) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc \(\alpha \) bất kì.

Bước 2: Xác định \(\sin \alpha ,\;\cos \alpha \)( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha  = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha  = {y^2}\end{array} \right.\)(1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}\) (do \(\Delta OMN\) vuông tại N)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) (vì OM =1). (đpcm)